Interpolacja (matematyka)


Interpolacja (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Interpolacjametoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami[1]. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja[2].

Interpolacja skończonego zbioru punktów epitrochoidy (niebieska krzywa).

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech dany będzie przedział a , b R {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów ( x k ) k = 0 n {\displaystyle (x_{k})_{k=0}^{n}} z tego przedziału,

a = x 0 < x 1 < < x n = b . {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b.}

Wyrazy x 0 , , x n {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}} powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Zakłada się także, że zadane są wartości y k R {\displaystyle y_{k}\in \mathbb {R} } dla k = 0 , 1 , , n . {\displaystyle k=0,1,\dots ,n.} Pary ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})} nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję f {\displaystyle f} określoną na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} nazywa się funkcją interpolacyjną (również interpolującą[1]) określoną w zadanych węzłach jeśli:

f ( x k ) = y k {\displaystyle f(x_{k})=y_{k}} dla wszystkich k = 0 , , n . {\displaystyle k=0,\dots ,n.}

Jeśli dana jest funkcja φ : a , b R {\displaystyle \varphi \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } oraz y k = φ ( x k ) {\displaystyle y_{k}=\varphi (x_{k})} dla każdego k = 0 , 1 , , n , {\displaystyle k=0,1,\dots ,n,} to funkcja interpolująca punkty pomiarowe ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})} (dla k = 0 , , n {\displaystyle k=0,\dots ,n} ) może być nazwana interpolacją funkcji φ {\displaystyle \varphi } w węzłach x 0 , , x n {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}} .

Na funkcję interpolującą f {\displaystyle f} nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych, i tak jeśli zażąda się, aby f {\displaystyle f} była określonej klasy, to mówi się wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Węzeł funkcji | edytuj kod

Węzeł funkcji to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość.

Jeżeli:

f : A B , {\displaystyle f\colon A\to B,} jest funkcją z A {\displaystyle A} w B {\displaystyle B} x i {\displaystyle x_{i}} jest elementem A , {\displaystyle A,} dla którego znana jest wartość f ( x i ) : {\displaystyle f(x_{i}){:}} y i = f ( x i ) , y i B , {\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),y_{i}\in B,}

to x i {\displaystyle x_{i}} jest węzłem funkcji f . {\displaystyle f.}

W praktyce zbiór węzłów jest skończonym zbiorem argumentów, dla których eksperymentalnie wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika).

Interpolacja liniowa | edytuj kod

Interpolacja wielomianowa | edytuj kod

Interpolacja liniowa  Osobny artykuł: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange’a, a jej podstawą jest twierdzenie, że:

Dla danych n + 1 {\displaystyle n+1} punktów pomiarowych, parami różnych od siebie, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n {\displaystyle n} interpolujący te punkty[3].

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa; zadanie interpolacji dla dwóch węzłów x 0 {\displaystyle x_{0}} i x 1 . {\displaystyle x_{1}.} Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} i ( x 1 , f ( x 1 ) ) {\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))} (zob. rysunek).

Funkcje sklejane | edytuj kod

 Osobny artykuł: Interpolacja funkcjami sklejanymi.

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek wartości błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi, nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia (najczęściej trzeciego), jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację[4]. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczne | edytuj kod

 Osobny artykuł: Interpolacja trygonometryczna.

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających właśnie charakter okresowy.

Interpolacja nieliniowa | edytuj kod

Wymierna | edytuj kod

 Osobny artykuł: Interpolacja wymierna.

Interpolacja wymierna polega na przybliżaniu funkcji za pomocą funkcji wymiernej. Rozwiązanie zadania interpolacji wymiernej nie zawsze jest możliwe do wykonania[5].

Wykładnicza | edytuj kod

Zastosowanie interpolacji | edytuj kod

  • obliczanie wartości funkcji podanych za pomocą tablic w punktach różnych od podanych w tablicy[6]
  • zagęszczanie tablic[6]
  • obliczanie poprawek[6]
  • zastępowanie skomplikowanych funkcji wielomianem odpowiedniego stopnia[6]
  • reguła Titiusa-Bodego: odległości planet Układu Słonecznego okazywały się tworzyć pewien ciąg opisany funkcją wykładniczą. Interpolacja danych pozwoliła przewidzieć i odkryć Ceres.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 24.
  2. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 73.
  3. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 25.
  4. Marciniak 2010c ↓, s. 43.
  5. Marciniak 2010c ↓, s. 39.
  6. a b c d Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 61.

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (modelowanie matematyczne):
Na podstawie artykułu: "Interpolacja (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy