Inwolucja (matematyka)


Inwolucja (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Inwolucjafunkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w ten sam zbiór; jeśli f : X X {\displaystyle f\colon X\to X} jest taką funkcją i dla dowolnego x X {\displaystyle x\in X} zachodzi warunek f ( f ( x ) ) = x , {\displaystyle f(f(x))=x,} bądź f f = i d X , {\displaystyle f\circ f=\mathrm {id} _{X},} to funkcję tę nazywa się inwolucją (druga definicja uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy).

Własności | edytuj kod

Inwolucja zbioru

Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego k N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } jest

f 2 k = i d X  oraz  f 2 k + 1 ( x ) = f . {\displaystyle f^{2k}=\mathrm {id} _{X}{\text{ oraz }}f^{2k+1}(x)=f.}

Jeśli X Y {\displaystyle X^{Y}} oznacza zbiór wszystkich funkcji X Y , {\displaystyle X\to Y,} zaś i : Y Y {\displaystyle i\colon Y\to Y} jest inwolucją, to funkcja A : X Y X Y {\displaystyle \mathrm {A} \colon X^{Y}\to X^{Y}} dana wzorem

A ( f ) := i f {\displaystyle \mathrm {A} (f):=i\circ f}

jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja B : Y Z Y Z {\displaystyle \mathrm {B} \colon Y^{Z}\to Y^{Z}} zdefiniowana jest wzorem

B ( g ) := g i , {\displaystyle \mathrm {B} (g):=g\circ i,}

to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).

Przykłady | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.
  2. S. López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.
Na podstawie artykułu: "Inwolucja (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy