Izometria


Izometria w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara), także przekształcenie izometrycznefunkcja, zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. Jest to więc izomorfizm izometryczny. W geometrii figury, między którymi istnieje izometria (są izometryczne), nazywane są przystającymi.

Spis treści

Geometria euklidesowa | edytuj kod

 Zobacz też: przystawanie (geometria).

Przekształcenie f {\displaystyle f} płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów A , B , {\displaystyle A,B,} tzn.

A B = A B , {\displaystyle A^{*}B^{*}=AB,}

gdzie X = f ( X ) {\displaystyle X^{*}=f(X)} oznacza obraz punktu X . {\displaystyle X.}

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

Parzystość | edytuj kod

Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy 1 {\displaystyle 1} bądź 1. {\displaystyle -1.} Te, które mają wyznacznik równy 1 {\displaystyle 1} zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy 1 {\displaystyle -1} zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas det : Iso { 1 , 1 } {\displaystyle \det \colon \operatorname {Iso} \to \{-1,1\}} jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometrii | edytuj kod

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Przestrzeń trójwymiarowa

W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii:

Przestrzenie metryczne | edytuj kod

Niech ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} i ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} nazywa się izometrią (bądź odwzorowaniem zachowującym odległość), jeżeli dla dowolnych a , b X {\displaystyle a,b\in X} spełniony jest warunek

d Y ( f ( a ) , f ( b ) ) = d X ( a , b ) . {\displaystyle d_{Y}(f(a),f(b))=d_{X}(a,b).}

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z X na Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem zupełnej przestrzeni metrycznej.

Przykłady | edytuj kod

( x , y ) ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\to (x,-y)} jest izometrią. ( x 1 , x 2 , x 3 , ) ( 0 , x 1 , x 2 , x 3 , ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},x_{3},\dots )} jest izometrią, lecz nie jest surjekcją.

Izometrie liniowe | edytuj kod

Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych V {\displaystyle V} oraz W {\displaystyle W} izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe f : V W , {\displaystyle f\colon V\to W,} które zachowuje normę:

f ( v ) = v {\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}

dla wszystkich v V . {\displaystyle v\in V.} Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad R {\displaystyle \mathbb {R} } jest przekształceniem afinicznym.

Uogólnienia | edytuj kod

  • Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej ε {\displaystyle \varepsilon } odwzorowanie f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} przestrzeni metrycznych nazywa się ε {\displaystyle \varepsilon } -izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli
    1. dla x , x X {\displaystyle x,x'\in X} zachodzi | d Y ( f ( x ) , f ( x ) ) d X ( x , x ) | < ε {\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon } oraz
    2. dla każdego y Y {\displaystyle y\in Y} istnieje punkt x X , {\displaystyle x\in X,} że d Y ( y , f ( x ) ) < ε . {\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon .}
Innymi słowy ε {\displaystyle \varepsilon } -izometria zachowuje odległości wewnątrz ε {\displaystyle \varepsilon } i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż ε {\displaystyle \varepsilon } od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od ε {\displaystyle \varepsilon } -izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa | edytuj kod

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976.
Na podstawie artykułu: "Izometria" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy