Izomorfizm

Izomorfizm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Grupa pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

Spis treści

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f {\displaystyle f} takie, że f {\displaystyle f} i jego odwrotność f − 1 {\displaystyle f^{-1}} są homomorfizmami.

O strukturach A {\displaystyle {\mathcal {A}}} i B {\displaystyle {\mathcal {B}}} powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} w B . {\displaystyle {\mathcal {B}}.}

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady | edytuj kod

 Osobne artykuły: homomorfizm grup i homomorfizm pierścieni.
  • Izomorfizm z grupy ( A , ∘ ) {\displaystyle (A,\circ )} w grupę ( B , ∙ ) {\displaystyle (B,\bullet )} to bijekcja f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że ∀ a , b ∈ A f ( a ∘ b ) = f ( a ) ∙ f ( b ) . {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\;f(a\circ b)=f(a)\bullet f(b).}
  • Izomorfizm z ciała ( K , ∘ , + ) {\displaystyle (K,\circ ,+)} w ciało ( L , ∙ , ◊ ) {\displaystyle (L,\bullet ,\Diamond )} to bijekcja g : K → L {\displaystyle g\colon K\to L} taka, że ∀ a , b ∈ K g ( a ∘ b ) = g ( a ) ∙ g ( b ) ∧ g ( a + b ) = g ( a ) ◊ g ( b ) . {\displaystyle \forall _{a,b\in K}\;g(a\circ b)=g(a)\bullet g(b)\land g(a+b)=g(a)\;\Diamond \;g(b).}
  • Izomorfizm z częściowego porządku ( P , < ) {\displaystyle (P,<)} w częściowy porządek ( Q , ◃ ) {\displaystyle (Q,\triangleleft )} to funkcja wzajemnie jednoznaczna h : P → Q : ∀ a , b ∈ P a < b ⟺ h ( a ) ◃ h ( b ) . {\displaystyle h\colon P\to Q:\forall _{a,b\in P}\;a<b\iff h(a)\triangleleft h(b).}

Teoria kategorii | edytuj kod

Morfizm f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} taki, że f ∘ g = id Y {\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}} oraz g ∘ f = id X {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}} [1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to f {\displaystyle f} jest izomorfizmem, zaś g {\displaystyle g} nazywane jest po prostu odwrotnością f . {\displaystyle f.} Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność g {\displaystyle g} jest także izomorficzna z odwrotnością f . {\displaystyle f.} O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności | edytuj kod

  1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2].
  2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady | edytuj kod

  • W Set izomorfizmami są bijekcje.
  • W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
  • W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
  • W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
  • W Met izomorfizmami są izometrie.
  • W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13.
  2. ↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13–14.

Bibliografia | edytuj kod

  • Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41. ISBN 83-7469-189-1.
  • Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 49, seria: BM 16.
  • Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ​ISBN 1-58488-052-X​, ​ISBN 978-1-58488-052-3​. [dostęp 5 maja 2009]. (ang.)
  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  • Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
Na podstawie artykułu: "Izomorfizm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy