Izomorfizm porządków


Izomorfizm porządków w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , ) , {\displaystyle (X,\leqslant ),} ( Y , ) {\displaystyle (Y,\sqsubseteq )} będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja f : X Y {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y} jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:

  • f {\displaystyle f} jest wzajemnie jednoznaczna
  • x , y X ( x y f ( x ) f ( y ) ) . {\displaystyle \forall _{x,y\in X}(x\leqslant y\iff f(x)\sqsubseteq f(y)).}

Porządki ( X , ) , {\displaystyle (X,\leqslant ),} ( Y , ) {\displaystyle (Y,\sqsubseteq )} nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.

Własności | edytuj kod

Niech ( X , ) , {\displaystyle (X,\leqslant ),} ( Y , ) {\displaystyle (Y,\sqsubseteq )} będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:

  • zbiory X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
  • porządki ( X , ) , {\displaystyle (X,\leqslant ),} ( Y , ) {\displaystyle (Y,\sqsubseteq )} mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

Przykłady | edytuj kod

Niech N , Z , Q , R {\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a {\displaystyle \leqslant } niech będzie naturalnym porządkiem.

  • Porządki ( N , ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )} i ( R , ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\leqslant )} nie są izomorficzne (zbiory N {\displaystyle \mathbb {N} } i R {\displaystyle \mathbb {R} } są różnej mocy)
  • Porządki ( N , ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )} i ( Q , ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leqslant )} nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór Q {\displaystyle \mathbb {Q} } jest gęsty, a N {\displaystyle \mathbb {N} } nie.
  • Porządki ( N , ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )} i ( Z , ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leqslant )} nie są izomorficzne, bo w N {\displaystyle \mathbb {N} } 0 jest elementem najmniejszym, a w Z {\displaystyle \mathbb {Z} } nie ma elementu najmniejszego.
  • Niech ( P , ) {\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )} będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki ( N , ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )} i ( P , ) {\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )} są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.
Na podstawie artykułu: "Izomorfizm porządków" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy