Jądro (algebra)


Jądro (algebra) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu f {\displaystyle f} jego jądro oznacza się zwykle ker f {\displaystyle \ker f} (od ang. kernel)

Homomorfizm grupowy | edytuj kod

 Osobny artykuł: Homomorfizm grupowy#Jądro i obraz.

Niech f : G H {\displaystyle f\colon G\to H} będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu f {\displaystyle f} nazywamy podgrupę f 1 ( e ) , {\displaystyle f^{-1}(e),} gdzie e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym działania w grupie H . {\displaystyle H.}

Homomorfizm f : G H {\displaystyle f\colon G\to H} jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy ker f = { e } . {\displaystyle \ker f=\{e\}.}

Homomorfizm pierścieni | edytuj kod

 Osobny artykuł: Morfizmy pierścieni#Jądro.

Niech f : R S {\displaystyle f\colon R\to S} będzie homomorfizmem pierścieni. W teorii pierścieni jądrem homomorfizmu f {\displaystyle f} nazywa się podzbiór f 1 ( 0 ) , {\displaystyle f^{-1}(0),} gdzie 0 {\displaystyle 0} oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia R . {\displaystyle R.}

Przekształcenie liniowe | edytuj kod

Niech f : U V {\displaystyle f\colon U\to V} będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . {\displaystyle K.} W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego f {\displaystyle f} nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

{ x U : f ( x ) = 0 } . {\displaystyle \left\{x\in U\colon f(x)=0\right\}.}

Własności | edytuj kod

  • ker f {\displaystyle \ker f} jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia f , {\displaystyle f,}
  • dim f = dim ker f + dim im f , {\displaystyle \dim f=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f,} gdzie im  f {\displaystyle {\mbox{im }}f} oznacza obraz przekształcenia f , {\displaystyle f,}
  • przekształcenie f {\displaystyle f} jest różnowartościowe ker f = { 0 } . {\displaystyle \iff \ker f=\{0\}.}
Na podstawie artykułu: "Jądro (algebra)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy