Jeż (topologia)


Jeż (topologia) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Jeż z dużą, ale skończoną, liczbą kolców

Jeż – przykład przestrzeni metrycznej zlepionej z kolców złączonych w jednym punkcie, co sprawia, iż przypomina ona swoim wyglądem jeża.

Dla dowolnej liczby kardynalnej κ {\displaystyle \kappa } jeżem o κ {\displaystyle \kappa } kolcach nazywa się przestrzeń zdefiniowaną jako zbiór κ {\displaystyle \kappa } kopii przedziałów jednostkowych utożsamionych w punkcie 0; każdy taki przedział nazywa się kolcem jeża.

Konstrukcja | edytuj kod

Niech S {\displaystyle S} będzie zbiorem nieskończonej mocy κ , {\displaystyle \kappa ,} przy czym dla każdej liczby α S {\displaystyle \alpha \in S} dalej wykorzystywane będą oznaczenia:

I α := 0 , 1 × { α } {\displaystyle I_{\alpha }:=[0,1]\times \{\alpha \}}

oraz

x α := ( x , α ) I α . {\displaystyle x_{\alpha }:=(x,\alpha )\in I_{\alpha }.}

Dowodzi się, że relacja R {\displaystyle R} określona na α S I α {\displaystyle \textstyle \bigcup _{\alpha \in S}I_{\alpha }} warunkiem:

x α R y β {\displaystyle x_{\alpha }Ry_{\beta }} wtedy i tylko wtedy, gdy x = y {\displaystyle x=y}   i   α = β {\displaystyle \alpha =\beta }   lub   x = y = 0 , {\displaystyle x=y=0,}

jest relacją równoważności. Wzór

d ( x α , y β ) = { | x y | ,  dla  α = β , x + y ,  dla  α β . {\displaystyle d{\big (}[x_{\alpha }],[y_{\beta }]{\big )}={\begin{cases}|x-y|,&{\mbox{ dla }}\alpha =\beta ,\\[2pt]x+y,&{\mbox{ dla }}\alpha \neq \beta .\end{cases}}}

określa metrykę w zbiorze klas abstrakcji R . {\displaystyle R.}

Słownie metrykę tę można opisać następująco: zwykła odległość euklidesowa dla punktów, które leżą na tym samym kolcu, i odległość równa sumie odległości euklidesowych od zera obu punktów, gdy leżą one na innych kolcach. Tak zdefiniowaną metrykę nazywa się metryką kolejową, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego bądź paryską[1].

Przestrzeń ilorazową relacji R , {\displaystyle R,} wyposażoną w metrykę d , {\displaystyle d,} nazywa się jeżem z κ {\displaystyle \kappa } kolcami i oznacza J ( κ ) . {\displaystyle J(\kappa ).}

Własności | edytuj kod

  • Dla każdej liczby α S {\displaystyle \alpha \in S} przekształcenie j α {\displaystyle j_{\alpha }} odcinka [0,1] w jeża J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} dane wzorem j α ( x ) = x α {\displaystyle j_{\alpha }(x)=[x_{\alpha }]} jest zanurzeniem homeomorficznym.
  • Bazą przestrzeni J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} jest rodzina kul otwartych o promieniach wymiernych i środkach w punktach postaci x α , {\displaystyle [x_{\alpha }],} gdzie x {\displaystyle x} jest liczbą wymierną oraz α S . {\displaystyle \alpha \in S.} Wynika stąd, że waga przestrzeni J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} jest nie większa od κ . {\displaystyle \kappa .} Z drugiej strony podprzestrzeń przestrzeni J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} złożona z punktów postaci 1 α {\displaystyle [1_{\alpha }]} jest przestrzenią dyskretną mocy κ , {\displaystyle \kappa ,} stąd waga przestrzeni J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} jest równa κ . {\displaystyle \kappa .}
  • Twierdzenie Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża J ( κ ) {\displaystyle J(\kappa )} jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze κ . {\displaystyle \kappa .} Innymi słowy, każda przestrzeń metryczna wagi κ {\displaystyle \kappa } jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu przeliczalnie wielu kopii jeża z κ {\displaystyle \kappa } kolcami[2].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. W ten sposób metryka kolejowa zawężona do koła jednostkowego jest jeżem, przy czym κ {\displaystyle \kappa } jest mocy continuum.
  2. Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979), s. 188. [1].

Bibliografia | edytuj kod

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 308, 346.
Na podstawie artykułu: "Jeż (topologia)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy