Kategoria (matematyka)


Kategoria (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a[1].

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Formalnie każda kategoria K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} składa się z dwóch klas[a][2]:

  • klasy O b K , {\displaystyle Ob{\mathfrak {K}},} której elementy nazywamy obiektami kategorii K , {\displaystyle {\mathfrak {K}},}
  • klasy M o r K , {\displaystyle Mor{\mathfrak {K}},} której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii K , {\displaystyle {\mathfrak {K}},} przy czym spełnione mają być następujące warunki:
    • każdej parze uporządkowanej A , B {\displaystyle \langle A,B\rangle } dwóch obiektów A , B {\displaystyle A,B} przyporządkowana jest klasa M o r ( A , B ) {\displaystyle Mor(A,B)} morfizmów z A {\displaystyle A} do B , {\displaystyle B,} oznaczana też czasem H K ( A , B ) , {\displaystyle H_{\mathfrak {K}}(A,B),} H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} lub K ( A , B ) . {\displaystyle {\mathfrak {K}}(A,B).} Jeżeli f M o r ( A , B ) , {\displaystyle f\in Mor(A,B),} to obiekt A {\displaystyle A} nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu f , {\displaystyle f,} a B {\displaystyle B} – jego końcem lub kodziedziną; zamiast f M o r ( A , B ) {\displaystyle f\in Mor(A,B)} pisze się też f : A B , {\displaystyle f\colon A\to B,}
    • każdy morfizm f {\displaystyle f} należy do tylko jednej klasy M o r ( A , B ) , {\displaystyle Mor(A,B),}
    • w klasie M o r K {\displaystyle Mor{\mathfrak {K}}} określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów f : A B , {\displaystyle f\colon A\to B,} g : C D {\displaystyle g\colon C\to D} jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy B = C ; {\displaystyle B=C;} gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru M o r ( A , D ) . {\displaystyle Mor(A,D).} Nazywamy go złożeniem morfizmów f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} oraz oznaczamy g f {\displaystyle g\circ f} lub g f . {\displaystyle gf.}
    • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli f : A B , {\displaystyle f\colon A\to B,} g : B C {\displaystyle g\colon B\to C} oraz h : C D , {\displaystyle h\colon C\to D,} to wówczas h ( g f ) = ( h g ) f , {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,}
    • do każdego M o r ( A , A ) {\displaystyle Mor(A,A)} należy taki morfizm i d A , {\displaystyle \mathrm {id} _{A},} że dla dowolnych morfizmów f : X A {\displaystyle f\colon X\to A} i g : A Y {\displaystyle g\colon A\to Y} mamy f = i d A f {\displaystyle f=id_{A}\circ f} oraz g = g i d A . {\displaystyle g=g\circ id_{A}.} Morfizmy i d A {\displaystyle \mathrm {id} _{A}} nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli f Mor ( A , B ) , {\displaystyle f\in \operatorname {Mor} (A,B),} to piszemy A = dom ( f ) {\displaystyle A=\operatorname {dom} (f)} i B = cod ( f ) . {\displaystyle B=\operatorname {cod} (f).}

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów A , B {\displaystyle A,B} klasa Mor ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Mor} (A,B)} jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady | edytuj kod

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

  • Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. H o m S e t ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Set}(A,B)} jest zbiorem odwzorowań zbioru A {\displaystyle A} w zbiór B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
  • Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. H o m G r ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Gr}(A,B)} jest zbiorem homomorfizmów grupy A {\displaystyle A} w grupę B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. H o m A b ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Ab}(A,B)} jest zbiorem homomorfizmów grupy A {\displaystyle A} w grupę B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K , {\displaystyle K,} a morfizmy są odwzorowaniami K {\displaystyle K} -liniowymi. H o m V e c t K ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Vect_{K}}(A,B)} jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni A {\displaystyle A} w przestrzeń B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
  • Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. H o m M e t r ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Metr}(A,B)} jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni A {\displaystyle A} w przestrzeń B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
  • Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. H o m T o p ( A , B ) {\displaystyle Hom_{Top}(A,B)} jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni A {\displaystyle A} w przestrzeń B . {\displaystyle B.} Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
  • Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
  • Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru A {\displaystyle A} w zbiór B {\displaystyle B} są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru A × B ; {\displaystyle A\times B;} złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
  • Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x ,   y {\displaystyle x,\ y} istnieje morfizm z x {\displaystyle x} do y {\displaystyle y} wtedy i tylko wtedy, gdy x y . {\displaystyle x\leqslant y.} Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x , {\displaystyle x,} a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
  • Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} można utworzyć jej kategorię dualną K o p . {\displaystyle {\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }.}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Takie sformułowanie wymaga odpowiedniego systemu aksjomatów teorii mnogości, aby uniknąć antynomii zbioru wszystkich zbiorów; p. Teoria kategorii, część Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.

Przypisy | edytuj kod

  1. Eilenberg i Mac Lane 1945 ↓.
  2. Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761.

Bibliografia | edytuj kod

  • S. Eilenberg, S. Mac Lane. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231–294, 1945. Amer. Math. Soc.. 
  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

  • Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). [dostęp 2011-08-26].
Kontrola autorytatywna (semigroupoid):
Na podstawie artykułu: "Kategoria (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy