Kinematyczne równanie ruchu


Kinematyczne równanie ruchu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kinematyczne równanie ruchu – zależności określające położenie ciała względem wybranego układu odniesienia w funkcji czasu[1].

Spis treści

Uwagi ogólne | edytuj kod

Funkcje kinematycznych równań ruchu mogą być wyrażone w postaci analitycznej, graficznej lub tabelarycznej. W celu wyrażenia położenia przez funkcje analityczne w układzie odniesienia wprowadza się układ współrzędnych. Funkcje wchodzące w skład równań ruchu muszą być jednoznaczne, w całym zadanym czasie ruchu, ponieważ w danym momencie każdy punkt ciała może znajdować się tylko w jednym, ściśle określonym miejscu. Funkcje te muszą być ciągłe i różniczkowalne. Ich pochodna względem czasu, oznaczająca prędkość, musi być ciągła i różniczkowalna. Druga pochodna oznacza przyspieszenie[1].

Liczba równań opisujących ruch ciała zależy od liczby niezależnych punktów ciała i rodzaju zagadnienia. Równania mogą być wyrażane jako równania wektorowe. Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu.

Równania punktu materialnego w trójwymiarowej przestrzeni w kartezjańskim układzie współrzędnych w postaci skalarnej określa następującym układem:

{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) . {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}.}

Wektorowo:

r = r ( t ) . {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t).}

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

r = x i + y j + z k , {\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}},}

gdzie i ,   j ,   k {\displaystyle {\vec {i}},\ {\vec {j}},\ {\vec {k}}} są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych.

Związek z dynamiką | edytuj kod

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu | edytuj kod

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem. Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas, można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie | edytuj kod

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na obliczenie:

  • równania toru ciała (przez wyeliminowanie z równań parametru czasu t {\displaystyle t} ),
  • prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu),
  • przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu),

Przykłady prostych równań ruchu | edytuj kod

x ( t ) = x 0 + v t . {\displaystyle x(t)=x_{0}+vt.}
  • Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ( x 0 {\displaystyle x_{0}} – położenie początkowe, v 0 {\displaystyle v_{0}} – prędkość początkowa, a {\displaystyle a} przyspieszenie)
x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 . {\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.}
  • Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę (( x 0 , {\displaystyle x_{0},} y 0 {\displaystyle y_{0}} ) – położenie początkowe, v 0 {\displaystyle v_{0}} – prędkość początkowa, α {\displaystyle \alpha } – kąt wyrzucenia)
{ x ( t ) = x 0 + v 0 t cos ( α ) y ( t ) = y 0 + v 0 t sin ( α ) 1 2 g t 2 . {\displaystyle {\begin{cases}x(t)=x_{0}+v_{0}t\cos {(\alpha )}\\y(t)=y_{0}+v_{0}t\sin {(\alpha )}-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}.} x ( t ) = A sin ( ω t + φ 0 ) . {\displaystyle x(t)=A\sin {(\omega t+\varphi _{0})}.}
  • Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami ( a , {\displaystyle a,} b {\displaystyle b} – długości półosi elipsy)
x ( t ) = a sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=a\sin {(\omega t)},} y ( t ) = b cos ( ω t ) . {\displaystyle y(t)=b\cos {(\omega t)}.}

Gdy a = b , {\displaystyle a=b,} jest to ruch po okręgu, a ω {\displaystyle \omega } jest prędkością kątową.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b „Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa PWN 1973 t. 2 s. 9.
Na podstawie artykułu: "Kinematyczne równanie ruchu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy