Kontrakcja (matematyka)


Kontrakcja (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie f {\displaystyle f} z przestrzeni metrycznej ( X , ϱ X ) {\displaystyle (X,\varrho _{X})} w przestrzeń metryczną ( Y , ϱ Y ) , {\displaystyle (Y,\varrho _{Y}),} dla którego istnieje stała rzeczywista α ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in (0,1)} taka, że dla dowolnych x 1 , x 2 X {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X} zachodzi nierówność

ϱ Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) α ϱ X ( x 1 , x 2 ) . {\displaystyle \varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \varrho _{X}(x_{1},x_{2}).}

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała α , {\displaystyle \alpha ,} dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Ciągłość | edytuj kod

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie Banacha | edytuj kod

Jeśli f : X X {\displaystyle f:X\to X} jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej X {\displaystyle X} w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że f {\displaystyle f} ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu x X , {\displaystyle x\in X,} ciąg x , f ( x ) , f ( f ( x ) ) , f ( f ( f ( x ) ) ) , {\displaystyle x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\dots } jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Kontrakcja (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy