Kres dolny i górny


Kresy dolny i górny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Kres dolny i górny) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych | edytuj kod

Definicje | edytuj kod

Niech A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru A {\displaystyle A} nazywamy liczbę s R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } spełniającą:

s a {\displaystyle s\geqslant a} dla wszystkich elementów a A . {\displaystyle a\in A.}

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru A {\displaystyle A} nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę s R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } spełniającą:

  • s {\displaystyle s} jest ograniczeniem górnym zbioru A ; {\displaystyle A;}
  • jeśli s R {\displaystyle s'\in \mathbb {R} } jest ograniczeniem górnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s\leqslant s'.}

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru A {\displaystyle A} oznaczamy sup ( A ) , {\displaystyle \sup(A),} kres dolny inf ( A ) . {\displaystyle \inf(A).}

Zapisy inf ( A ) = {\displaystyle \inf(A)=-\infty } oraz sup ( A ) = {\displaystyle \sup(A)=\infty } oznaczają, że A {\displaystyle A} jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności | edytuj kod

  • Każdy niepusty podzbiór R {\displaystyle \mathbb {R} } ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
  • Przypuśćmy że A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } jest niepustym zbiorem oraz s R , {\displaystyle s\in \mathbb {R} ,} wówczas s = sup ( A ) {\displaystyle s=\sup(A)} wtedy i tylko wtedy, gdy a A a s {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\leqslant s} oraz ε > 0 a A a > s ε ; {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;a>s-\varepsilon ;} s = inf ( A ) {\displaystyle s=\inf(A)} wtedy i tylko wtedy, gdy a A a s {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\geqslant s} oraz ε > 0 a A s + ε > a . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;s+\varepsilon >a.}
  • Jeżeli A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } oraz oznaczymy A := { x R : x A } , {\displaystyle -A:=\{x\in \mathbb {R} :-x\in A\},} to: inf ( A ) = sup ( A ) , {\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A),} sup ( A ) = inf ( A ) . {\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A).}

Przykłady | edytuj kod

  • Niech A = 0 , 3 . {\displaystyle A=[0,3].} Wówczas:
inf ( A ) = 0 , {\displaystyle \inf(A)=0,} ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A. sup ( A ) = 3 , {\displaystyle \sup(A)=3,} ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
  • Niech B = ( 0 , 3 ) . {\displaystyle B=(0,3).} Wówczas:
inf ( B ) = 0 , {\displaystyle \inf(B)=0,} bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest. sup ( B ) = 3 , {\displaystyle \sup(B)=3,} bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech C = { 0 , 1 , 3 } . {\displaystyle C=\{0,1,3\}.} Wówczas podobnie jak dla zbioru A , {\displaystyle A,} inf ( C ) = 0 {\displaystyle \inf(C)=0} oraz sup ( C ) = 3. {\displaystyle \sup(C)=3.}
  • Niech D = { 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , } . {\displaystyle D=\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},\dots \}.} Wówczas:
sup ( D ) = 1 , {\displaystyle \sup(D)=1,} gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech E = . {\displaystyle E=\emptyset .} Wówczas:
inf ( E ) = , sup ( E ) = , {\displaystyle \inf(E)=\infty ,\quad \sup(E)=-\infty ,}  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych | edytuj kod

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech A X . {\displaystyle A\subseteq X.} Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element s X {\displaystyle s\in X} nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli:

a A a s . {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\sqsubseteq s.}

Element s X {\displaystyle s\in X} nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli:

a A s a . {\displaystyle \forall _{a\in A}\;s\sqsubseteq a.}

Element s X {\displaystyle s\in X} jest kresem górnym (supremum) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli s {\displaystyle s} jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych A , {\displaystyle A,} tzn.

s {\displaystyle s} jest ograniczeniem górnym zbioru A ; {\displaystyle A;} jeśli s X {\displaystyle s'\in X} jest ograniczeniem górnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s\sqsubseteq s'.}

Element s X {\displaystyle s\in X} jest kresem dolnym (infimum) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli s {\displaystyle s} jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych A , {\displaystyle A,} tzn.

s {\displaystyle s} jest ograniczeniem dolnym zbioru A ; {\displaystyle A;} jeśli s X {\displaystyle s'\in X} jest ograniczeniem dolnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s'\sqsubseteq s.}

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór X {\displaystyle X} ma kres górny, to porządek ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} nazywa się zupełnym.

Własności | edytuj kod

  • Każdy element zbioru X {\displaystyle X} jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru X , {\displaystyle X,} a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru X {\displaystyle X} (o ile takie istnieją w zbiorze X {\displaystyle X} ).
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia inf ( A ) {\displaystyle \inf(A)} i sup ( A ) {\displaystyle \sup(A)} odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru A {\displaystyle A} są jednoznaczne.
  • Jeśli ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy ( Y , ) {\displaystyle (Y,\leqslant )} taki że X Y {\displaystyle X\subseteq Y} i obcięcie X {\displaystyle \leqslant \upharpoonright X} zgadza się z , {\displaystyle \sqsubseteq ,} oraz X {\displaystyle X} jest gęstym podzbiorem Y . {\displaystyle Y.} Porządek ( Y , ) {\displaystyle (Y,\leqslant )} jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór X {\displaystyle X} ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór X {\displaystyle X} ma kres dolny.

Przykłady | edytuj kod

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } z porządkiem naturalnym i zbiór A = { q Q : q 2 < 2 } , {\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\},} to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
    Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać ( 2 , 2 ) {\displaystyle (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})} i ma oba kresy.
  • Niech X = ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) {\displaystyle X=(1,2)\cup (3,4)} będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} nie ma w zbiorze X {\displaystyle X} kresu górnego, bowiem ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru ( 1 , 2 ) , {\displaystyle (1,2),} ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} nie ma w zbiorze X {\displaystyle X} kresu dolnego.
  • Niech X = ( 1 , 2 ( 3 , 4 {\displaystyle X=(1,2]\cup (3,4]} będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ( 1 , 2 {\displaystyle (1,2]} ma w zbiorze X {\displaystyle X} kres górny 2 , {\displaystyle 2,} podzbiór ( 3 , 4 {\displaystyle (3,4]} ma w zbiorze X {\displaystyle X} kres dolny 2. {\displaystyle 2.}
  • Niech ( B , + , , , 0 , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,0,1)} będzie algebrą Boole’a i niech {\displaystyle \leqslant } będzie porządkiem boole’owskim na B {\displaystyle \mathbb {B} } (tzn. dla a b {\displaystyle a\leqslant b} wtedy i tylko wtedy, gdy a b = a {\displaystyle a\cdot b=a} ).
    • Kres górny niepustego zbioru A B {\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} } (jeśli istnieje) jest oznaczany przez A {\displaystyle \sum A} i bywa nazywany sumą zbioru A {\displaystyle A} . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski {\displaystyle \leqslant } jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru A B {\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} } (jeśli istnieje) jest oznaczany przez A {\displaystyle \prod A} i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru A {\displaystyle A} . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a B : {\displaystyle \mathbb {B} {:}} każdy niepusty podzbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } ma kres górny (tzn. sumę), każdy niepusty podzbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } ma kres dolny (tzn. produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli A B , {\displaystyle \varnothing \neq A\subseteq \mathbb {B} ,} to A =∼ { a : a A } {\displaystyle \sum A=\sim \prod \{\sim a:a\in A\}} oraz A =∼ { a : a A } . {\displaystyle \prod A=\sim \sum \{\sim a:a\in A\}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.
Na podstawie artykułu: "Kres dolny i górny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy