Kresy dolny i górny


Kresy dolny i górny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych | edytuj kod

Definicje | edytuj kod

Niech A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru A {\displaystyle A} nazywamy liczbę s R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } spełniającą:

s a {\displaystyle s\geqslant a} dla wszystkich elementów a A . {\displaystyle a\in A.}

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru A {\displaystyle A} nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę s R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } spełniającą:

  • s {\displaystyle s} jest ograniczeniem górnym zbioru A ; {\displaystyle A;}
  • jeśli s R {\displaystyle s'\in \mathbb {R} } jest ograniczeniem górnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s\leqslant s'.}

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru A {\displaystyle A} oznaczamy sup ( A ) , {\displaystyle \sup(A),} kres dolny inf ( A ) . {\displaystyle \inf(A).}

Zapisy inf ( A ) = {\displaystyle \inf(A)=-\infty } oraz sup ( A ) = {\displaystyle \sup(A)=\infty } oznaczają, że A {\displaystyle A} jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności | edytuj kod

  • Każdy niepusty podzbiór R {\displaystyle \mathbb {R} } ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
  • Przypuśćmy że A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } jest niepustym zbiorem oraz s R , {\displaystyle s\in \mathbb {R} ,} wówczas s = sup ( A ) {\displaystyle s=\sup(A)} wtedy i tylko wtedy, gdy a A a s {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\leqslant s} oraz ε > 0 a A a > s ε ; {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;a>s-\varepsilon ;} s = inf ( A ) {\displaystyle s=\inf(A)} wtedy i tylko wtedy, gdy a A a s {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\geqslant s} oraz ε > 0 a A s + ε > a . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;s+\varepsilon >a.}
  • Jeżeli A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } oraz oznaczymy A := { x R : x A } , {\displaystyle -A:=\{x\in \mathbb {R} :-x\in A\},} to: inf ( A ) = sup ( A ) , {\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A),} sup ( A ) = inf ( A ) . {\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A).}

Przykłady | edytuj kod

  • Niech A = 0 , 3 . {\displaystyle A=[0,3].} Wówczas:
inf ( A ) = 0 , {\displaystyle \inf(A)=0,} ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A. sup ( A ) = 3 , {\displaystyle \sup(A)=3,} ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
  • Niech B = ( 0 , 3 ) . {\displaystyle B=(0,3).} Wówczas:
inf ( B ) = 0 , {\displaystyle \inf(B)=0,} bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest. sup ( B ) = 3 , {\displaystyle \sup(B)=3,} bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech C = { 0 , 1 , 3 } . {\displaystyle C=\{0,1,3\}.} Wówczas podobnie jak dla zbioru A , {\displaystyle A,} inf ( C ) = 0 {\displaystyle \inf(C)=0} oraz sup ( C ) = 3. {\displaystyle \sup(C)=3.}
  • Niech D = { 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , } . {\displaystyle D=\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},\dots \}.} Wówczas:
sup ( D ) = 1 , {\displaystyle \sup(D)=1,} gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech E = . {\displaystyle E=\emptyset .} Wówczas:
inf ( E ) = , sup ( E ) = , {\displaystyle \inf(E)=\infty ,\quad \sup(E)=-\infty ,}  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych | edytuj kod

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech A X . {\displaystyle A\subseteq X.} Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element s X {\displaystyle s\in X} nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli:

a A a s . {\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\sqsubseteq s.}

Element s X {\displaystyle s\in X} nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli:

a A s a . {\displaystyle \forall _{a\in A}\;s\sqsubseteq a.}

Element s X {\displaystyle s\in X} jest kresem górnym (supremum) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli s {\displaystyle s} jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych A , {\displaystyle A,} tzn.

s {\displaystyle s} jest ograniczeniem górnym zbioru A ; {\displaystyle A;} jeśli s X {\displaystyle s'\in X} jest ograniczeniem górnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s\sqsubseteq s'.}

Element s X {\displaystyle s\in X} jest kresem dolnym (infimum) zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli s {\displaystyle s} jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych A , {\displaystyle A,} tzn.

s {\displaystyle s} jest ograniczeniem dolnym zbioru A ; {\displaystyle A;} jeśli s X {\displaystyle s'\in X} jest ograniczeniem dolnym zbioru A , {\displaystyle A,} to s s . {\displaystyle s'\sqsubseteq s.}

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór X {\displaystyle X} ma kres górny, to porządek ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} nazywa się zupełnym.

Własności | edytuj kod

  • Każdy element zbioru X {\displaystyle X} jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru X , {\displaystyle X,} a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru X {\displaystyle X} (o ile takie istnieją w zbiorze X {\displaystyle X} ).
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia inf ( A ) {\displaystyle \inf(A)} i sup ( A ) {\displaystyle \sup(A)} odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru A {\displaystyle A} są jednoznaczne.
  • Jeśli ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy ( Y , ) {\displaystyle (Y,\leqslant )} taki że X Y {\displaystyle X\subseteq Y} i obcięcie X {\displaystyle \leqslant \upharpoonright X} zgadza się z , {\displaystyle \sqsubseteq ,} oraz X {\displaystyle X} jest gęstym podzbiorem Y . {\displaystyle Y.} Porządek ( Y , ) {\displaystyle (Y,\leqslant )} jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór X {\displaystyle X} ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór X {\displaystyle X} ma kres dolny.

Przykłady | edytuj kod

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } z porządkiem naturalnym i zbiór A = { q Q : q 2 < 2 } , {\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\},} to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
    Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać ( 2 , 2 ) {\displaystyle (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})} i ma oba kresy.
  • Niech X = ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) {\displaystyle X=(1,2)\cup (3,4)} będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} nie ma w zbiorze X {\displaystyle X} kresu górnego, bowiem ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru ( 1 , 2 ) , {\displaystyle (1,2),} ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} nie ma w zbiorze X {\displaystyle X} kresu dolnego.
  • Niech X = ( 1 , 2 ( 3 , 4 {\displaystyle X=(1,2]\cup (3,4]} będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ( 1 , 2 {\displaystyle (1,2]} ma w zbiorze X {\displaystyle X} kres górny 2 , {\displaystyle 2,} podzbiór ( 3 , 4 {\displaystyle (3,4]} ma w zbiorze X {\displaystyle X} kres dolny 2. {\displaystyle 2.}
  • Niech ( B , + , , , 0 , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,0,1)} będzie algebrą Boole’a i niech {\displaystyle \leqslant } będzie porządkiem boole’owskim na B {\displaystyle \mathbb {B} } (tzn. dla a b {\displaystyle a\leqslant b} wtedy i tylko wtedy, gdy a b = a {\displaystyle a\cdot b=a} ).
    • Kres górny niepustego zbioru A B {\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} } (jeśli istnieje) jest oznaczany przez A {\displaystyle \sum A} i bywa nazywany sumą zbioru A {\displaystyle A} . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski {\displaystyle \leqslant } jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru A B {\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} } (jeśli istnieje) jest oznaczany przez A {\displaystyle \prod A} i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru A {\displaystyle A} . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a B : {\displaystyle \mathbb {B} {:}} każdy niepusty podzbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } ma kres górny (tzn. sumę), każdy niepusty podzbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } ma kres dolny (tzn. produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli A B , {\displaystyle \varnothing \neq A\subseteq \mathbb {B} ,} to A =∼ { a : a A } {\displaystyle \sum A=\sim \prod \{\sim a:a\in A\}} oraz A =∼ { a : a A } . {\displaystyle \prod A=\sim \sum \{\sim a:a\in A\}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.
Na podstawie artykułu: "Kresy dolny i górny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy