Kryterium Cauchy'ego


Kryterium Cauchy’ego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Kryterium Cauchy'ego) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Spis treści

Kryterium | edytuj kod

Niech dany będzie szereg liczbowy

o wyrazach nieujemnych.

  • Jeżeli
lim sup n a n n < 1 , {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1,}

to szereg (A) jest zbieżny.

  • Jeżeli
lim inf n a n n > 1 , {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1,}

to szereg (A) jest rozbieżny[1].

Wersja graniczna kryterium | edytuj kod

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

C = lim n a n n , {\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}},}

to

  • gdy C < 1 , {\displaystyle C<1,} szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy C > 1 , {\displaystyle C>1,} szereg (A) jest rozbieżny[1].

Dowód | edytuj kod

W przypadku, gdy

lim sup n a n n < 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1}

istnieją takie liczby m {\displaystyle m} i q ( 0 , 1 ) , {\displaystyle q\in (0,1),} że

a n n q {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leqslant q}

dla każdego n > m . {\displaystyle n>m.} To oznacza, że dla n > m {\displaystyle n>m} zachodzi nierówność

a n q n , {\displaystyle a_{n}\leqslant q^{n},}

czyli

a m + 1 + a m + 2 + a m + 3 + q m + 1 + q m + 2 + q m + 3 + < , {\displaystyle a_{m+1}+a_{m+2}+a_{m+3}+\dots \leqslant q^{m+1}+q^{m+2}+q^{m+3}+\ldots <\infty ,}

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).

W przypadku, gdy

lim inf n a n n > 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}

istnieje taka liczba m , {\displaystyle m,} że dla n > m {\displaystyle n>m} zachodzi nierówność

a n n 1 , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\geqslant 1,}

a więc spełniona jest także nierówność

a n 1. {\displaystyle a_{n}\geqslant 1.}

Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania | edytuj kod

Rozważmy szereg

Wówczas

lim n n 2 n n = lim n n n 2 n n = lim n n n 2 = 1 2 < 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n}{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n}}{2}}={\frac {1}{2}}<1.}

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (B) jest zbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności | edytuj kod

Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy

lim n a n n = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=1.}

Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie

a n = 1 n , b n = 1 n 2 . {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}},\;b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}.}

Wówczas

lim n a n n = lim n b n n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b_{n}}}=1}

(korzystamy z faktu, że lim n n n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1} ). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a n = 1 b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[2][3].

Porównanie z kryterium d’Alemberta | edytuj kod

 Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi[4]. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.

lim sup n a n + 1 a n < 1. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1.}

Wówczas istnieją liczba k N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } oraz ρ < 1 {\displaystyle \rho <1} taka, że

a n + 1 a n ρ {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant \rho }

dla dowolnego n k . {\displaystyle n\geqslant k.} Wówczas a k + n ρ n a k {\displaystyle a_{k+n}\leqslant \rho ^{n}a_{k}} dla każdego n k . {\displaystyle n\geqslant k.} Zatem

lim sup n a n n = lim sup n a k + n k + n lim sup n ( ρ n a k ) 1 k + n = lim n ρ n k + n lim n a k 1 k + n = ρ 1 = ρ < 1. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{k+n}]{a_{k+n}}}\leqslant \limsup _{n\to \infty }(\rho ^{n}a_{k})^{\frac {1}{k+n}}=\lim _{n\to \infty }\rho ^{\frac {n}{k+n}}\lim _{n\to \infty }a_{k}^{\frac {1}{k+n}}=\rho \cdot 1=\rho <1.}

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Niech dany będzie szereg

1 4 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 3 + 1 4 3 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+...}

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci

a 2 n = a 2 n 1 = 1 4 n . {\displaystyle a_{2n}=a_{2n-1}={\frac {1}{4^{n}}}.}

Zauważmy, że

a 2 n 2 n = 1 4 n 2 n = 1 2 {\displaystyle {\sqrt[{2n}]{a_{2n}}}={\sqrt[{2n}]{\frac {1}{4^{n}}}}={\frac {1}{2}}}

oraz

a 2 n 2 n 1 = 1 4 n 2 n 1 = 1 ( 4 n ) 1 2 n 1 1 2 . {\displaystyle {\sqrt[{2n-1}]{a_{2n}}}={\sqrt[{2n-1}]{\frac {1}{4^{n}}}}={\frac {1}{(4^{n})^{\frac {1}{2n-1}}}}\to {\frac {1}{2}}.}

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony

a 2 n a 2 n 1 = 1 ( n N ) , {\displaystyle {\frac {a_{2n}}{a_{2n-1}}}=1\quad (n\in \mathbb {N} ),}

co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 233.
  2. Kuratowski 1967 ↓, s. 47.
  3. Leja 1971 ↓, s. 193.
  4. Kuratowski 1967 ↓, s. 48.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Kryterium Cauchy'ego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy