Kryterium Jermakowa


Kryterium Jermakowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Jermakowa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych udowodnione przez W.P. Jermakowa.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Niech f : 1 ; ) R {\displaystyle f\colon [1;\infty )\to \mathbb {R} } będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych x , {\displaystyle x,} tj. x x 0 {\displaystyle x\geqslant x_{0}} dla pewnego x 0 , {\displaystyle x_{0},} spełniona jest nierówność

f ( e x ) e x f ( x ) q < 1 , {\displaystyle {\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\leqslant q<1,}

to szereg

n = 1 f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych x {\displaystyle x} zachodzi nierówność

f ( e x ) e x f ( x ) 1 , {\displaystyle {\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\geqslant 1,}

to szereg ten jest rozbieżny[1].

Przykłady zastosowania | edytuj kod

  • Niech r > 0 {\displaystyle r>0} oraz
f ( x ) = 1 x ln 1 + r ( x ) . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln ^{1+r}(x)}}.} Wówczas lim x f ( e x ) e x f ( x ) = lim x ln 1 + r ( x ) x r = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln ^{1+r}(x)}{x^{r}}}=0,} a więc dla dostatecznie dużych x {\displaystyle x} wyrażenie to nie przekracza, na przykład, q = 1 / 2. {\displaystyle q=1/2.} Oznacza to, że szereg n = 1 1 n ln 1 + r ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln ^{1+r}(n)}}} jest zbieżny[2].
  • Niech
f ( x ) = 1 x ln x ln ln x . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln x\cdot \ln \ln x}}.} Wówczas lim x f ( e x ) e x f ( x ) = , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\infty ,} a więc dla dostatecznie dużych x {\displaystyle x} wyrażenie to jest większe o 1. {\displaystyle 1.} Oznacza to, że szereg n = 1 1 n ln n ln ln n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n\cdot \ln \ln n}}} jest rozbieżny[2].

Przypisy | edytuj kod

  1. Fichtenholz 1966 ↓, s. 246.
  2. a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 248.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Kryterium Jermakowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy