Krzywa Lissajous


Krzywa Lissajous w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Doświadczenie Lissajous z kamertonami

Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditchakrzywa parametryczna wykreślona przez punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

Dana jest wzorem:

{ x ( t ) = A sin ( a t + δ ) y ( t ) = B sin ( b t ) {\displaystyle {\begin{cases}x(t)=A\sin(at+\delta )\\[2pt]y(t)=B\sin(bt)\end{cases}}}

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1799, oraz Jules’a Antoine’a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous.

Spis treści

Rodzaje | edytuj kod

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika a b . {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.} Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg:

A = B , δ = π 2 {\displaystyle A=B,\delta ={\tfrac {\pi }{2}}} (zob. pi i radian),

oraz odcinek:

δ = 0. {\displaystyle \delta =0.}

Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} jest liczbą wymierną.

Występowanie | edytuj kod

Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie X Y , {\displaystyle XY,} dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku a b . {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.} Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru δ {\displaystyle \delta } ) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy a b , {\displaystyle a\approx b,} uzyskuje się efekt „obracającej się monety”.

Inną metodą jest wykorzystanie wahadła o specjalnej konstrukcji. Wahadło takie posiada dwie różne efektywne długości (w prostopadłych do siebie płaszczyznach), więc generuje drgania złożone[1][2].

Krzywe Lissajous są także czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).

Przykłady | edytuj kod

Poniżej zamieszczono przykłady krzywych[3] Lissajous o parametrach δ = π 2 , {\displaystyle \delta ={\tfrac {\pi }{2}},} a {\displaystyle a} – nieparzyste, b {\displaystyle b} – parzyste, | a b | = 1. {\displaystyle |a-b|=1.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Marek Ples. Krzywe Lissajous – piękno drgań. „Młody Technik”. 6 (2015), s. 76–77. Warszawa: Wydawnictwo AVT. 
  2. Jan Gaj: Laboratorium Fizyczne w domu. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985.
  3. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теореитической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954

Bibliografia | edytuj kod

  • Josep Sales, Francesc Banyuls: Niebezpieczne krzywe. Elipsy, hiperbole i inne geometryczne cuda. Przełożyła Hanna Jezierska. Barcelona: RBA, 2012, s. 109–112, seria: Świar jest matematyczny. ISBN 978-84-473-7545-5.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Krzywa Lissajous" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy