Krzywa stożkowa


Krzywa stożkowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Krzywa stożkowazbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.}

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Spis treści

Rys historyczny | edytuj kod

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Rodzaje krzywych stożkowych | edytuj kod

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

  • W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
    • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
    • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
    • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

Równanie | edytuj kod

Okrąg ( e = 0 ) , {\displaystyle (e=0),} elipsa ( e = 0 , 5 ) , {\displaystyle (e=0{,}5),} parabola ( e = 1 ) {\displaystyle (e=1)} i hiperbola ( e = 2 ) . {\displaystyle (e=2).} Dla e = {\displaystyle e=\infty } uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

r = p 1 + e cos φ , {\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }},}

gdzie:

r , φ {\displaystyle r,\varphi } – współrzędne punktu; e {\displaystyle e} mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:
  • e = 0 {\displaystyle e=0} okrąg, szczególny przypadek elipsy;
  • 0 e < 1 {\displaystyle 0\leqslant e<1} elipsa;
  • e = 1 {\displaystyle e=1} parabola;
  • e > 1 {\displaystyle e>1} hiperbola.
p {\displaystyle p} – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka.

Parametr p {\displaystyle p} krzywej stożkowej jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum[1].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Eric W Weisstein: Semilatus Rectum. MathWorld – A Wolfram Web Resource. [dostęp 2017-07-05].
Kontrola autorytatywna (miejsce geometryczne):
Na podstawie artykułu: "Krzywa stożkowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy