Kula


Kula w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kula w danej przestrzeni metrycznej ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

K ¯ c , r = { p : ρ ( p , c ) r } {\displaystyle {\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}}

dla pewnych c X ,   r > 0 , {\displaystyle c\in X,\ r>0,} które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach[1][2][3] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta i definiowanego następująco:

K c , r = { p : ρ ( p , c ) < r } . {\displaystyle K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.}

Spis treści

Informacja ogólna | edytuj kod

Kula w przestrzeni euklidesowej

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} spełniają nierówność:

( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 r 2 , {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},}

gdzie ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} są współrzędnymi środka kuli, a r {\displaystyle r} oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

r ( α , β ) r {\displaystyle r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}} dla α π , π ) , β π 2 , π 2 . {\displaystyle {}\,\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}

W n {\displaystyle n} -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie ( s 1 , s 2 , , s n ) {\displaystyle (s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} i promieniu r {\displaystyle r} to zbiór punktów x = ( x 1 , x 2 , , x n ) , {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),} których współrzędne spełniają nierówność:

( x 1 s 1 ) 2 + ( x 2 s 2 ) 2 + + ( x n s n ) 2 r 2 . {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Kula o środku P ( 2 ; 1 , 5 ) {\displaystyle P(2;1{,}5)} i promieniu r = 1 {\displaystyle r=1} w metryce miejskiej na zbiorze R 2 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} o metryce miejskiej do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

| x 1 x 2 | + | y 1 y 2 | r . {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.}

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór { G , H , I } {\displaystyle \{G,H,I\}} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H . {\displaystyle H.}

Związane pojęcia | edytuj kod

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej | edytuj kod

  • Objętość n {\displaystyle n} -wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r {\displaystyle r} dana jest wzorem V n = π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) r n = { π k k ! r n dla  n = 2 k , 2 k π k 1 n ! ! r n dla  n = 2 k 1 , {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}}
  • „Pole” ( n 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarowe jej (hiper)powierzchni S n = n r V n . {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{r}}\,V_{n}.}
  • Objętość 3-wymiarowej kuli: V = 4 3 π r 3 4 , 19   r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\approx 4{,}19\ r^{3}.} [4]
  • Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: S = 4 π r 2 12 , 6   r 2 . {\displaystyle S=4\pi r^{2}\approx 12{,}6\ r^{2}.} [4]

W powyższych wzorach π 3,141 59265 {\displaystyle \pi \approx 3{,}14159265} jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś Γ {\displaystyle \Gamma } oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem n {\displaystyle n} -wymiarowej kuli jest ( n 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne | edytuj kod

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
  3. Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
  4. a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
Na podstawie artykułu: "Kula" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy