Kwadryka - encyklopedia.biolog.pl

Kwadryka w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,\ y,\ z{:}$

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,\qquad (1)

gdzie:

a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb {R} ,

przy czym nie zachodzi

a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}$ kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Spis treści

1 Wykresy i równania kanoniczne
2 Postać macierzowa równania
3 Niezmienniki
4 Określenie typu na podstawie współczynników
5 Bibliografia
6 Linki zewnętrzne

Wykresy i równania kanoniczne | edytuj kod

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach $a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.$

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania | edytuj kod

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

\mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {x} +a_{44}=0,

gdzie:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}

\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{bmatrix}}

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}

Niezmienniki | edytuj kod

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

\Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|

\delta =\det A=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|

S=a_{11}+a_{22}+a_{33}

T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{12}^{2}

Określenie typu na podstawie współczynników | edytuj kod

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.

δ ≠ 0 {\displaystyle \delta \neq 0} tzw. powierzchnie środkowe:
- Δ < 0 : {\displaystyle \Delta <0{:}}
  - $S\delta >0,\ T>0$ elipsoida (w szczególnym przypadku sfera)
  - $S\delta >0,\ T<0$ hiperboloida dwupowłokowa
  - $S\delta <0,\ T>0$ hiperboloida dwupowłokowa
- Δ > 0 : {\displaystyle \Delta >0{:}}
  - $S\delta >0,\ T>0$ zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona)
  - $S\delta >0,\ T<0$ hiperboloida jednopowłokowa
  - $S\delta <0,\ T>0$ hiperboloida jednopowłokowa
- Δ = 0 : {\displaystyle \Delta =0{:}}
  - $S\delta >0,\ T>0$ pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
  - $S\delta >0,\ T<0$ powierzchnia stożkowa
  - $S\delta <0,\ T>0$ powierzchnia stożkowa
δ = 0 : {\displaystyle \delta =0{:}}
- Δ ≠ 0 {\displaystyle \Delta \neq 0} paraboloidy:
  - $\Delta <0\Leftrightarrow T>0$ paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa)
  - $\Delta >0\Leftrightarrow T<0$ paraboloida hiperboliczna
- Δ = 0 : {\displaystyle \Delta =0{:}}
  - $\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|=0$
    przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
  - w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:
    - $T>0$ walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony
    - $T<0$ walec hiperboliczny
    - $T=0$ walec paraboliczny

Bibliografia | edytuj kod

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk (ang.)

Na podstawie artykułu: "Kwadryka" pochodzącego z Wikipedii
Oryginał Edytuj Historia i autorzy