Kwantyfikator egzystencjalny


Kwantyfikator egzystencjalny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kwantyfikator egzystencjalny, kwantyfikator mały, kwantyfikator szczegółowykwantyfikator oznaczający, że istnieje takie podstawienie zmiennej, dla którego dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

x : ϕ ( x ) {\displaystyle \exists x:\phi (x)} (zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „there exists”)

oraz

x ϕ ( x ) . {\displaystyle \bigvee _{x}\phi (x).}

W obu przypadkach czyta się „istnieje takie x , {\displaystyle x,} dla którego zachodzi ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} ”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

x : ( x A ϕ ( x ) ) {\displaystyle \exists x:(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))} x ( x A ϕ ( x ) ) {\displaystyle \bigvee _{x}(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))}

to używa się uproszczonej notacji:

x A : ϕ ( x ) {\displaystyle \exists x\in \mathbb {A} :\phi (x)} x A ϕ ( x ) {\displaystyle \bigvee _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)}

I czyta się „dla pewnego x {\displaystyle x} należącego do zbioru A {\displaystyle \mathbb {A} } zachodzi ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} ”.

Jeżeli X = { x 0 , x 1 , , x n } {\displaystyle X=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}} jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} to:

x X : ϕ ( x ) ϕ ( x 0 ) ϕ ( x 1 ) ϕ ( x n ) {\displaystyle \exists x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\lor \phi (x_{1})\lor \cdots \lor \phi (x_{n})}

Stosowany bywa również zapis:

! x A : ϕ ( x ) {\displaystyle \exists !\,x\in \mathbb {A} :\phi (x)}

oznaczający „istnieje dokładnie jedno x z A, dla którego zachodzi ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} ”.

Zanegowany kwantyfikator egzystencjalny staje się kwantyfikatorem ogólnym i na odwrót:

¬ x : ϕ ( x ) = x : ¬ ϕ ( x ) {\displaystyle \neg \exists x:\phi (x)=\forall x:\neg \phi (x)} ¬ x : ϕ ( x ) = x : ¬ ϕ ( x ) . {\displaystyle \neg \forall x:\phi (x)=\exists x:\neg \phi (x).}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Kwantyfikator egzystencjalny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy