Lemat Łuzina


Lemat Łuzina w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Łuzina – twierdzenie mówiące, że każda probabilistyczna miara borelowska na przestrzeni polskiej jest wewnętrznie regularna (tj. jest miarą Radona). Twierdzenie udowodnione zostało przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina.

Dowód | edytuj kod

Niech (Ω, d) będzie przestrzenią polską, a μ oznacza miarę probabilistyczną na Ω. Niech ciąg (an) będzie gęsty w Ω, a ponadto ε > 0. Dla dowolnie wybranych liczb naturalnych n, k niech dane będą zbiory

B n , k = { x Ω : d ( x , a n ) 1 k } . {\displaystyle B_{n,k}={\Big \{}x\in \Omega \colon d(x,a_{n})\leqslant {\tfrac {1}{k}}{\Big \}}.}

Wówczas

Ω = n = 1 k = 1 B n , k . {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n,k}.}

Dla każdego k istnieje zatem taka liczba naturalna n(k), że

μ ( n = 1 n ( k ) B n , k ) > 1 ε 2 k . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}\right)>1-{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}

Niech

K = k = 1 n = 1 n ( k ) B n , k . {\displaystyle K=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}.}

Zbiór K jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc z zupełności Ω jest to zbiór zwarty. Ponadto

μ ( Ω K ) k = 1 μ ( Ω n = 1 n ( k ) B n , k ) k = 1 ε 2 k = ε . {\displaystyle \mu {\big (}\Omega \setminus K{\big )}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }\mu \left(\Omega \setminus \bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}\right)\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}

Dowodzi to wewnętrznej regularności miary μ.

Bibliografia | edytuj kod

  1. G. Blower, Random Matrices: High Dimensional Phenomena, ser. London Mathematical Society Lecture Notes. Cambridge, U.K., Cambridge Univ. Press, 2009, ss. 17-18.
  2. Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
Na podstawie artykułu: "Lemat Łuzina" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy