Lemat Bootha

Lemat Bootha w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Bootha – zdanie teorii mnogości dotyczące nieskończonych rodzin podzbiorów zbiorów przeliczalnych o pewnych własnościach. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości, to znaczy na ich gruncie nie można go ani udowodnić, ani obalić. Jest ono oznaczane symbolami:

LB , P ( c ) {\displaystyle {\text{LB}},\;\mathrm {P} ({\mathfrak {c}})} lub p = c . {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {c}}.}

Zdarza się, że LB {\displaystyle {\text{LB}}} albo jego zaprzeczenie jest użyteczne w dowodach, dlatego niekiedy jedno z tych zdań przyjmowane jest jako dodatkowy aksjomat. Nazwa zdania pochodzi od nazwiska matematyka Davida Bootha, który dowiódł, że aksjomat Martina pociąga LB {\displaystyle {\text{LB}}} [1].

LB : {\displaystyle {\text{LB}}{:}} Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego X {\displaystyle X} taką, że | A | < 2 ℵ 0 . {\displaystyle |{\mathcal {A}}|<2^{\aleph _{0}}.} Jeśli dla każdej skończonej podrodziny B ⊆ A {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}} zbiór ⋂ B {\displaystyle \bigcap {\mathcal {B}}} jest nieskończony (innymi słowy: A {\displaystyle {\mathcal {A}}} generuje filtr nie zawierający zbiorów skończonych), to istnieje zbiór nieskończony B ⊆ X {\displaystyle B\subseteq X} (tzw. pseudoprzekrój rodziny A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ) taki, że B ⊆ ∗ A {\displaystyle B\subseteq ^{*}A} (tzn. B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} jest skończony) dla każdego zbioru A ∈ A . {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ David Booth: Ultrafilters over a countable set. „Annals of Mathematical Logic”, 2 (1970), s. 1–24.
Na podstawie artykułu: "Lemat Bootha" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy