Lemat Euklidesa


Lemat Euklidesa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Euklidesa – uogólnienie twierdzenia 30 z VII księgi Elementów Euklidesa. Treść lematu jest następująca:

Jeżeli liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich, to jest dzielnikiem drugiej.

Można to zapisać w następującej postaci:

n | a b nwd ( n , a ) = 1     n | b , {\displaystyle n|ab\land {\mbox{nwd}}(n,a)=1\ \Rightarrow \ n|b,}

gdzie nwd oznacza największy wspólny dzielnik.

Nazwy lemat Euklidesa często używa się w odniesieniu do 30 twierdzenia, a nie jego uogólnienia. Twierdzenie to mówi, że jeżeli liczba pierwsza dzieli iloczyn dwóch liczb naturalnych, to dzieli co najmniej jedną z nich:

p | a b p | a p | b . {\displaystyle p|ab\Rightarrow p|a\lor p|b.}

Powyższa własność charakteryzuje liczby pierwsze i stanowi motywację definicji ideału pierwszego. Twierdzenie 30 i jego uogólnienie są wykorzystywane głównie w teorii liczb, zwłaszcza w dowodach podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Lemat Euklidesa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy