Lemat Jordana


Lemat Jordana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Jordana – twierdzenie analizy zespolonej często używane w połączeniu z twierdzeniem o residuach do obliczania całek krzywoliniowych oraz całek niewłaściwych. Twierdzenie nosi nazwisko francuskiego matematyka Camille’a Jordana.

Sformułowanie | edytuj kod

Dana jest funkcja holomorficzna określona w górnej półpłaszczyźnie oraz ciągła (na półpłaszczyźnie włącznie z osią rzeczywistą) postaci

f ( z ) = e i a z g ( z ) , a > 0. {\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad a>0.}

Lemat Jordana mówi, że jeżeli zachodzi warunek

lim R max z C R | g ( z ) | = 0 , {\displaystyle {}\quad \lim _{R\to \infty }\max _{z\in C_{R}}\left|g(z)\right|=0,}

gdzie:

C R = { z : z = R e i θ , θ 0 , π } , R > 0 {\displaystyle C_{R}=\{z:z=Re^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\},\quad R>0}

(droga po górnym półokręgu o środku w zerze i promieniu R {\displaystyle R} ), to

lim R C R f ( z ) d z = 0. {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int \limits _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dolnej półpłaszczyzny gdy przyjmiemy a < 0. {\displaystyle a<0.}

Na podstawie artykułu: "Lemat Jordana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy