Lemat Riemanna


Lemat Riemanna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Lemat Riemanna | edytuj kod

Niech f : a , b R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

lim ν a b f ( x ) sin ν x d x = 0. {\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin \nu xdx=0.}

Dowód | edytuj kod

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1 | edytuj kod

| a b sin ν x d x | = | cos ν a cos ν b ν | 2 ν 0 , {\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}\sin \nu xdx\right|=\left|{\frac {\cos \nu a-\cos \nu b}{\nu }}\right|\leqslant {\frac {2}{\nu }}\to 0,}

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1.

2. Dla funkcji f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} | edytuj kod

| a b x sin ν x d x | = | ( sin ν x ν 2 x cos ν x ν ) | a b | = | sin ν a sin ν b ν 2 + b cos ν b a cos ν a ν | 2 ν 2 + | a | + | b | ν 0. {\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}x\sin \nu xdx\right|=\left|\left({\frac {\sin \nu x}{\nu ^{2}}}-{\frac {x\cos \nu x}{\nu }}\right)\left|{a \atop b}\right.\right|=\left|{\frac {\sin \nu a-\sin \nu b}{\nu ^{2}}}+{\frac {b\cos \nu b-a\cos \nu a}{\nu }}\right|\leqslant {\frac {2}{\nu ^{2}}}+{\frac {|a|+|b|}{\nu }}\to 0.}

3. Dla funkcji liniowej f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,} gdzie a , b R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } | edytuj kod

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej | edytuj kod

Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej liczbie podprzedziałów przedziału [a; b], to na mocy 3. w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana, wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b].

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} | edytuj kod

Można przypuszczać, że funkcję ciągłą na a , b {\displaystyle [a,b]} da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas, że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4.) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać, przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na a , b , {\displaystyle [a,b],} to jest jednostajnie ciągła na a , b {\displaystyle [a,b]} (na mocy twierdzenia Heinego-Cantora, gdyż jako domknięte i ograniczone przedziały domknięte prostej są zwarte z twierdzenia Heinego-Borela).

Wybierzmy pewną liczbę ε , {\displaystyle \varepsilon ,} wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby δ , {\displaystyle \delta ,} takiej że dla dowolnych wartości x 1 , x 2 a , b {\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]} tak, że

| x 1 x 2 | < δ | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | < ε . {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}

Obierzmy następnie liczby a = c 0 < c 1 < . . . < c n = b {\displaystyle a=c_{0}<c_{1}<...<c_{n}=b} w taki sposób, aby | c n c n 1 | < δ . {\displaystyle |c_{n}-c_{n-1}|<\delta .}

Rozważmy funkcję φ {\displaystyle \varphi } liniową w każdym z przedziałów c n 1 ; c n {\displaystyle [c_{n-1};c_{n}]} i o własności f ( c n ) = ϕ ( c n ) . {\displaystyle f(c_{n})=\phi (c_{n}).} Weźmy x {\displaystyle x} należący do przedziału c n 1 ; c n . {\displaystyle [c_{n-1};c_{n}].}

Korzystając z faktu, że φ {\displaystyle \varphi } jest liniowa, wiemy, iż φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} leży pomiędzy ϕ ( c n 1 ) {\displaystyle \phi (c_{n-1})} i ϕ ( c n ) , {\displaystyle \phi (c_{n}),} dlatego liczba φ ( x ) f ( x ) {\displaystyle \varphi (x)-f(x)} leży pomiędzy liczbami ϕ ( c n 1 ) f ( x ) {\displaystyle \phi (c_{n-1})-f(x)} i ϕ ( c n ) f ( x ) , {\displaystyle \phi (c_{n})-f(x),} które mają moduł mniejszy od ε . {\displaystyle \varepsilon .} Co za tym idzie:

| ϕ ( x ) f ( x ) | < ε . {\displaystyle |\phi (x)-f(x)|<\varepsilon .}

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji φ ( x ) f {\displaystyle \varphi (x)f} można znaleźć taką funkcję φ {\displaystyle \varphi } taką, że:

| ϕ ( x ) f ( x ) | < ε 2 ( b a ) , {\displaystyle |\phi (x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2(b-a)}},}

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4.) spełniającą lemat Riemanna:

| a b ϕ ( x ) sin ν x d x | < 1 2 ε , {\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}\phi (x)\sin \nu xdx\right|<{\frac {1}{2}}\varepsilon ,}

czyli:

| a b f ( x ) sin ν x d x | | a b ( f ( x ) ϕ ( x ) ) sin ν x d x | + | a b ϕ ( x ) sin ν x d x | ε 2 ( b a ) ( b a ) + 1 2 ε = ε . {\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin \nu xdx\right|\leqslant \left|\int \limits _{a}^{b}(f(x)-\phi (x))\sin \nu xdx\right|+\left|\int \limits _{a}^{b}\phi (x)\sin \nu xdx\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2(b-a)}}(b-a)+{\frac {1}{2}}\varepsilon =\varepsilon .}

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej.

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie c {\displaystyle c} | edytuj kod

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

a b f ( x ) sin ν x d x = a c f ( x ) sin ν x d x + c b f ( x ) sin ν x d x = a c ϕ 1 ( x ) sin ν x d x + c b ϕ 2 ( x ) sin ν x d x . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\sin \nu xdx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\sin \nu xdx+\int \limits _{c}^{b}f(x)\sin \nu xdx=\int \limits _{a}^{c}\phi _{1}(x)\sin \nu xdx+\int \limits _{c}^{b}\phi _{2}(x)\sin \nu xdx.}

Przy czym funkcje ϕ 1 , ϕ 2 {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}} są równe funkcji f {\displaystyle f} (odpowiednio) na przedziale a , c ) {\displaystyle [a,c)} i ( c , a , {\displaystyle (c,a],} a w punkcie c {\displaystyle c} są uzupełnione tak, aby były ciągłe w przedziałach a , c {\displaystyle [a,c]} i c , b {\displaystyle [c,b]} (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej liczbie punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje ϕ 1 , ϕ 2 {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}} są ciągłe, więc (na mocy 5.) przechodząc z ν {\displaystyle \nu } do nieskończoności, otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości | edytuj kod

Dzieląc przedział a , b {\displaystyle [a,b]} na skończoną liczbę podprzedziałów, w których funkcja f {\displaystyle f} ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6., otrzymujemy tezę twierdzenia, QED.

Na podstawie artykułu: "Lemat Riemanna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy