Lematy Borela-Cantelliego


Lematy Borela-Cantellego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Lematy Borela-Cantelliego) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lematy Borela-Cantellego[1]lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) . {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}

Spis treści

Pierwszy lemat Borela-Cantellego | edytuj kod

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} jest zbieżny, tj.

k = 1 P ( A k ) < + , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})<+\infty ,}

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} wynosi 0, tj.

P ( n = 1 k = n A k ) = 0. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=0.}

Dowód | edytuj kod

  • Niech A := n = 1 B n ,   B n := k = n A k ,   B n + 1 B n . {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}
  • Korzystając z własności miary:
P ( A ) = lim n P ( B n ) . {\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}
  • Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
P ( B n ) = P ( k = n A k ) k = n P ( A k )     ( ) . {\displaystyle P(B_{n})=P\left(\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\ \ (\star ).}
  • Niech S := k = 1 P ( A k ) ,   S n 1 := k = 1 n 1 P ( A k ) . {\displaystyle S:=\sum \limits _{k=1}^{\infty }P(A_{k}),\ S_{n-1}:=\sum \limits _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).} Z założenia S < , {\displaystyle S<\infty ,} więc szereg jest zbieżny.
  • Zauważmy, że: k = n P ( A k ) = S S n 1 . {\displaystyle \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})=S-S_{n-1}.}
  • ( S n n S ) ( S S n 1 n 0 ) ( k = n P ( A k ) n 0 ) . {\displaystyle \left(S_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S\right)\Rightarrow \left(S-S_{n-1}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right)\Rightarrow \left(\sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}
  • Korzystając z ( ) , P ( B n ) 0 {\displaystyle (\star ),P(B_{n})\geqslant 0} oraz twierdzenia o trzech ciągach:
( 0 P ( B n ) k = n P ( A k ) ) ( P ( B n ) n 0 ) . {\displaystyle \left(0\leqslant P(B_{n})\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\right)\Rightarrow \left(P(B_{n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}
  • Kończy to dowód, bo: P ( n = 1 k = n A k ) = P ( A ) = lim n P ( B n ) = 0. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=0.}

Drugi lemat Borela-Cantellego | edytuj kod

Jeśli zdarzenia A i {\displaystyle A_{i}} niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

k = 1 P ( A k ) = + , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})=+\infty ,}

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} wynosi 1, tj.

P ( n = 1 k = n A k ) = 1. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=1.}

Dowód | edytuj kod

  • Niech A := n = 1 B n ,   B n := k = n A k ,   B n + 1 B n . {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}
  • Korzystając z własności miary:
P ( A ) = lim n P ( B n ) . {\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}
  • Zapiszmy B n {\displaystyle B_{n}} w postaci: B n = m = n k = n m A k . {\displaystyle B_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}.}
  • Niech C m , n := k = n m A k ,   C m , n C m + 1 , n . {\displaystyle C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^{m}A_{k},\ C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.}
  • Korzystając ponownie z własności miary:
P ( B n ) = lim m P ( k = n m A k ) . {\displaystyle P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right).}
  • Zauważmy, że k = n m A k = Ω k = n m A k , {\displaystyle \bigcup _{k=n}^{m}A_{k}=\Omega -\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'},} gdzie A k = Ω A k {\displaystyle A_{k}^{'}=\Omega -A_{k}}
  • P ( k = n m A k ) = 1 P ( k = n m A k ) = 1 k = n m P ( A k ) = 1 k = n m ( 1 P ( A k ) ) . {\displaystyle P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'}\right)=1-\prod \limits _{k=n}^{m}P(A_{k}^{'})=1-\prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})).}
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że k = n m ( 1 P ( A k ) ) m 0. {\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
  • Zauważmy: x 0 exp x 1 x   ( ) {\displaystyle x\geqslant 0\Rightarrow \exp[-x]\geqslant 1-x\ (\star )}
  • 0 k = n m ( 1 P ( A k ) ) ( ) k = n m exp P ( A k ) = exp k = n m P ( A k ) m 0. {\displaystyle 0\leqslant \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k}))\leqslant ^{(\star )}\prod \limits _{k=n}^{m}\exp[-P(A_{k})]=\exp \left[-\sum \limits _{k=n}^{m}P(A_{k})\right]{\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
  • Więc z twierdzenia o trzech ciągach: k = n m ( 1 P ( A k ) ) m 0. {\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
  • I ostatecznie ( P ( B n ) = lim m P ( k = n m A k ) = 1 ) ( P ( n = 1 k = n A k ) = P ( A ) = lim n P ( B n ) = 1 ) . {\displaystyle \left(P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k})=1\right)\Rightarrow \left(P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k})=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=1\right).}

Wniosek | edytuj kod

  • Jeżeli zdarzenia A 1 , A 2 , A 3 , {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } niezależne to dla zdarzenia A := n = 1 k = n A k {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}} zachodzi warunek:
P ( A ) = 0    lub    P ( A ) = 1. {\displaystyle P(A)=0\ {\text{ lub }}\ P(A)=1.}

Przykład | edytuj kod

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech A k {\displaystyle A_{k}} oznacza zdarzenie polegające na tym, że k {\displaystyle k} -ty, k + 1 {\displaystyle k+1} i k + 2 {\displaystyle k+2} rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n},...} nie są niezależne, ale zdarzenia A 1 , A 4 , A 7 , . . . A 3 n + 1 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{4},A_{7},...A_{3n+1},...} są.

Każde zdarzenie A k {\displaystyle A_{k}} ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1].

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.
Na podstawie artykułu: "Lematy Borela-Cantelliego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy