Lematy Borela-Cantellego w encyklopedii Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Lematy Borela-Cantelliego ) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Lematy Borela-Cantellego [1] lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych , wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb .
Niech A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) . {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}
Spis treści Pierwszy lemat Borela-Cantellegoedytuj kod Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} jest zbieżny , tj.
∑ k = 1 ∞ P ( A k ) < + ∞ , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})<+\infty ,} wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} wynosi 0, tj.
P ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k ) = 0. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=0.} Niech A := ⋂ n = 1 ∞ B n , B n := ⋃ k = n ∞ A k , B n + 1 ⊆ B n . {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.} Korzystając z własności miary : P ( A ) = lim n → ∞ P ( B n ) . {\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).} Również z własności miary otrzymujemy nierówność: P ( B n ) = P ( ⋃ k = n ∞ A k ) ⩽ ∑ k = n ∞ P ( A k ) ( ⋆ ) . {\displaystyle P(B_{n})=P\left(\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\ \ (\star ).} Niech S := ∑ k = 1 ∞ P ( A k ) , S n − 1 := ∑ k = 1 n − 1 P ( A k ) . {\displaystyle S:=\sum \limits _{k=1}^{\infty }P(A_{k}),\ S_{n-1}:=\sum \limits _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).} Z założenia S < ∞ , {\displaystyle S<\infty ,} więc szereg jest zbieżny. Zauważmy, że: ∑ k = n ∞ P ( A k ) = S − S n − 1 . {\displaystyle \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})=S-S_{n-1}.} ( S n → n → ∞ S ) ⇒ ( S − S n − 1 → n → ∞ 0 ) ⇒ ( ∑ k = n ∞ P ( A k ) → n → ∞ 0 ) . {\displaystyle \left(S_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S\right)\Rightarrow \left(S-S_{n-1}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right)\Rightarrow \left(\sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).} Korzystając z ( ⋆ ) , P ( B n ) ⩾ 0 {\displaystyle (\star ),P(B_{n})\geqslant 0} oraz twierdzenia o trzech ciągach : ( 0 ⩽ P ( B n ) ⩽ ∑ k = n ∞ P ( A k ) ) ⇒ ( P ( B n ) → n → ∞ 0 ) . {\displaystyle \left(0\leqslant P(B_{n})\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\right)\Rightarrow \left(P(B_{n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).} Kończy to dowód, bo: P ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k ) = P ( A ) = lim n → ∞ P ( B n ) = 0. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=0.} Drugi lemat Borela-Cantellegoedytuj kod Jeśli zdarzenia A i {\displaystyle A_{i}} są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny , tj.
∑ k = 1 ∞ P ( A k ) = + ∞ , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})=+\infty ,} wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} wynosi 1, tj.
P ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k ) = 1. {\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=1.} Niech A := ⋂ n = 1 ∞ B n , B n := ⋃ k = n ∞ A k , B n + 1 ⊆ B n . {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.} Korzystając z własności miary : P ( A ) = lim n → ∞ P ( B n ) . {\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).} Zapiszmy B n {\displaystyle B_{n}} w postaci: B n = ⋃ m = n ∞ ⋃ k = n m A k . {\displaystyle B_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}.} Niech C m , n := ⋃ k = n m A k , C m , n ⊆ C m + 1 , n . {\displaystyle C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^{m}A_{k},\ C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.} Korzystając ponownie z własności miary : P ( B n ) = lim m → ∞ P ( ⋃ k = n m A k ) . {\displaystyle P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right).} Zauważmy, że ⋃ k = n m A k = Ω − ⋂ k = n m A k ′ , {\displaystyle \bigcup _{k=n}^{m}A_{k}=\Omega -\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'},} gdzie A k ′ = Ω − A k {\displaystyle A_{k}^{'}=\Omega -A_{k}} P ( ⋃ k = n m A k ) = 1 − P ( ⋂ k = n m A k ′ ) = 1 − ∏ k = n m P ( A k ′ ) = 1 − ∏ k = n m ( 1 − P ( A k ) ) . {\displaystyle P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'}\right)=1-\prod \limits _{k=n}^{m}P(A_{k}^{'})=1-\prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})).} ∏ k = n m ( 1 − P ( A k ) ) → m → ∞ 0. {\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.} Zauważmy: x ⩾ 0 ⇒ exp − x ⩾ 1 − x ( ⋆ ) {\displaystyle x\geqslant 0\Rightarrow \exp[-x]\geqslant 1-x\ (\star )} 0 ⩽ ∏ k = n m ( 1 − P ( A k ) ) ⩽ ( ⋆ ) ∏ k = n m exp − P ( A k ) = exp − ∑ k = n m P ( A k ) → m → ∞ 0. {\displaystyle 0\leqslant \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k}))\leqslant ^{(\star )}\prod \limits _{k=n}^{m}\exp[-P(A_{k})]=\exp \left[-\sum \limits _{k=n}^{m}P(A_{k})\right]{\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.} Więc z twierdzenia o trzech ciągach: ∏ k = n m ( 1 − P ( A k ) ) → m → ∞ 0. {\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.} I ostatecznie ( P ( B n ) = lim m → ∞ P ( ⋃ k = n m A k ) = 1 ) ⇒ ( P ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k ) = P ( A ) = lim n → ∞ P ( B n ) = 1 ) . {\displaystyle \left(P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k})=1\right)\Rightarrow \left(P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k})=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=1\right).} Jeżeli zdarzenia A 1 , A 2 , A 3 , … {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } są niezależne to dla zdarzenia A := ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k {\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}} zachodzi warunek: P ( A ) = 0 lub P ( A ) = 1. {\displaystyle P(A)=0\ {\text{ lub }}\ P(A)=1.} Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech A k {\displaystyle A_{k}} oznacza zdarzenie polegające na tym, że k {\displaystyle k} -ty, k + 1 {\displaystyle k+1} i k + 2 {\displaystyle k+2} rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n},...} nie są niezależne, ale zdarzenia A 1 , A 4 , A 7 , . . . A 3 n + 1 , . . . {\displaystyle A_{1},A_{4},A_{7},...A_{3n+1},...} są.
Każde zdarzenie A k {\displaystyle A_{k}} ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.
↑ Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1] . Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa . Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1 . 
