Liczba fikcyjna


Liczba fikcyjna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Strona tytułowa dzieła Artis Magnæ, w którym stworzone zostało pojęcie liczby fikcyjnej, stanowiące początki pojęcia liczb zespolonych Konstrukcja pierwiastka z Geometrii Kartezjusza

Liczba fikcyjna (ficta) – archaiczne pojęcie matematyczne powstałe we wczesnych początkach odkrywania liczb zespolonych. Pojęcie to wprowadził włoski matematyk Girolamo Cardano w dziele Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus opublikowanym w 1545 roku[1].

Dawna matematyka nie pozwalała na odrywanie działań matematycznych od ich interpretacji geometrycznej, tzw. arytmetyki odcinków oraz jeszcze szerszych arytmetyk, obejmujących także bardziej skomplikowane figury geometryczne, takie jak np. krzywe[2]. Przykładowo:

  • własności dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania uzasadniano poprzez dokonywanie odpowiednich konstrukcji geometrycznych[3];
  • miejsca zerowe wielomianów również wyznaczano poprzez odpowiednie konstrukcje geometryczne, np. w równaniu postaci x 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} niewiadoma x {\displaystyle x} była interpretowana jako odcinek o długości 2 {\displaystyle 2} [4];
  • pierwiastek a {\displaystyle {\sqrt {a}}} był interpretowany jako długość boku kwadratu o polu a {\displaystyle a} [5].

Geometria stanowiła duże obciążenie dla rozwoju algebry[5]. Matematycy XVI i XVII-wieczni, przechodząc z interpretacji geometrycznej na interpretację na liczbach i literach, natrafiali na pewne trudności i niewyjaśnione paradoksy, przez co musieli jeszcze mocniej odchodzić od interpretacji geometrycznej i tworzyć nowe wyjaśnienia dla uzyskiwanych przez nich wyników. I tak np. Kartezjusz rozwiązanie równania x + 5 = 0 {\displaystyle x+5=0} nazywał fałszywym pierwiastkiem (bowiem nie istnieje odcinek o długości 5 {\displaystyle -5} )[6].

Na bardziej skomplikowany problem natknął się Cardano. Rozwiązując równanie x 2 + 40 = 10 x , {\displaystyle x^{2}+40=10x,} Cardano doszedł do wyrażenia 15 {\displaystyle {\sqrt {-15}}} i uznał, że istnienie takiej liczby oznaczałoby istnienie figury o ujemnym polu[1]. Przekraczało to wyobraźnię Cardano[1]. Liczby tego typu nazwał fikcyjnymi[1].

Kartezjusz znał traktat Cardano, a nawet odwoływał się do niego w Geometrii (1637)[5]. Kartezjusz lepiej zrozumiał naturę tych dziwnych wyrażeń i zamiast liczb fikcyjnych nadał im nazwę liczby urojone[7], która przyjęła się do dziś. Opisał to następująco:

Nie ma jednak dowodów na to, że Kartezjusz pojął liczby urojone tak, jak matematycy rozumieją je współcześnie[8]. Prawdopodobnie wiedział o liczbach zespolonych tylko tyle, że istnieją pierwiastki równań kwadratowych, jak te wskazane przez niego[8]. Współcześnie wiadomo, że w ciele liczb zespolonych nie istnieje porządek liniowy zgodny z działaniami, dlatego nie porównuje się liczb zespolonych jako większych/mniejszych – z kolei Kartezjusz pisze o powiększaniu i pomniejszaniu liczby zespolonej[8].

Uwagi | edytuj kod

  1. Oryg.: reelles.
  2. Oryg.: imaginaires.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Kartezjusz ↓, s. 292–293.
  2. Kartezjusz ↓, s. 291.
  3. Kartezjusz ↓, s. 146–165.
  4. Kartezjusz ↓, s. 200.
  5. a b c Kartezjusz ↓, s. 293.
  6. Kartezjusz ↓, s. 372.
  7. a b Kartezjusz ↓, s. 380.
  8. a b c Kartezjusz ↓, s. 282–283.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Liczba fikcyjna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy