Liczby Fermata


Liczby Fermata w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczba Fermataliczba naturalna postaci F n = 2 2 n + 1 , {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,} gdzie n {\displaystyle n} jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Spis treści

Faktoryzacje liczb Fermata | edytuj kod

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

F 0 = 2 1 + 1 = 3 {\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3} F 1 = 2 2 + 1 = 5 {\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5} F 2 = 2 4 + 1 = 17 {\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17} F 3 = 2 8 + 1 = 257 {\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257} F 4 = 2 16 + 1 = 65537 {\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537} F 5 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 6700417 {\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417} F 6 = 2 64 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 67280421310721 {\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721} F 7 = 2 128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 5704689200685129054721 {\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}

Liczby Fermata a pierwszość | edytuj kod

Początkowe liczby Fermata F 0 , , F 4 {\displaystyle F_{0},\dots ,F_{4}} liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F 5 = 4294967297 = 641 6700417. {\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417.}

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie F 0 , F 1 , F 2 , F 3 , F 4 {\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}+1} jest liczbą pierwszą, to n {\displaystyle n} musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości | edytuj kod

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla n > 1 , {\displaystyle n>1,} jeśli m = ( F n 1 ) / 2 , {\displaystyle m=(F_{n}-1)/2,} to F n {\displaystyle F_{n}} jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli 3 m + 1. {\displaystyle 3^{m}+1.}

Przykład
  • liczba F 2 = 17 , {\displaystyle F_{2}=17,}
  • zatem m = 8 , {\displaystyle m=8,}
  • więc 3 8 + 1 = 6562 , {\displaystyle 3^{8}+1=6562,}
  • 6562 / 17 = 386 {\displaystyle 6562/17=386}
  • dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby F 2 . {\displaystyle F_{2}.}

Wzory rekurencyjne | edytuj kod

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

  • F n = ( F n 1 1 ) 2 + 1 , {\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,}
  • F n = F n 1 + 2 2 n 1 F 0 F n 2 , {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2},}
  • F n = F n 1 2 2 ( F n 2 1 ) 2 , {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},}
  • F n = F 0 F n 1 + 2 {\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}

dla n 2. {\displaystyle n\geqslant 2.}

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności | edytuj kod

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

  • Jeżeli n 2 , {\displaystyle n\geqslant 2,} to F n 17  albo  41 ( mod 72 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo }}41{\pmod {72}}} (zobacz: kongruencja)
  • Jeśli n 2 , {\displaystyle n\geqslant 2,} to F n 17 , 37 , 57 ,  albo  97 ( mod 100 ) . {\displaystyle F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo }}97{\pmod {100}}.}
  • Liczba D ( n , b ) {\displaystyle D(n,b)} cyfr liczby F n {\displaystyle F_{n}} w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie b {\displaystyle b} jest równa D ( n , b ) = log b ( 2 2 n + 1 ) + 1 2 n log b 2 + 1 {\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor } (zobacz: funkcja podłoga)
  • Żadna liczba Fermata oprócz F 1 = 5 {\displaystyle F_{1}=5} nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
  • Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch p {\displaystyle p} -tych potęg, gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata | edytuj kod

Dowodząc, że F 5 {\displaystyle F_{5}} jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby F n {\displaystyle F_{n}} musi mieć postać k 2 n + 1 + 1. {\displaystyle k2^{n+1}+1.} Dla n = 5 {\displaystyle n=5} oznacza to, że jedynie liczby postaci 64 k + 1 {\displaystyle 64k+1} mogą dzielić F n ; {\displaystyle F_{n};} dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli F 5 , {\displaystyle F_{5},} nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

  • Czy F n {\displaystyle F_{n}} jest liczbą złożoną dla n > 4 {\displaystyle n>4} ?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla 5 n 32 {\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32} wszystkie liczby F n {\displaystyle F_{n}} są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla n 11. {\displaystyle n\leqslant 11.} Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest F 2478782 , {\displaystyle F_{2478782},} a jednym z jej czynników pierwszych jest 3 2 2478785 + 1. {\displaystyle 3\cdot 2^{2478785}+1.}

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla n = 35563 {\displaystyle n=35563} liczba Fermata ma dzielnik: 357 2 35567 + 1. {\displaystyle 357\cdot 2^{35567}+1.}

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

  • Twierdzenie Protha: Niech N = k 2 m + 1 , {\displaystyle N=k2^{m}+1,} gdzie k {\displaystyle k} jest nieparzyste i mniejsze od 2 m . {\displaystyle 2^{m}.} Jeżeli istnieje liczba całkowita a {\displaystyle a} taka, że:
a ( N 1 ) / 2 1 ( mod N ) {\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}

to N {\displaystyle N} jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

( a N ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1} (zobacz: symbol Jacobiego),

to N {\displaystyle N} jest liczbą złożoną. Jeżeli N = F n > 3 , {\displaystyle N=F_{n}>3,} to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy 1. {\displaystyle -1.}

  • Niech n 3 n {\displaystyle n\geqslant 3-n} jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby a {\displaystyle a} względnie pierwszej z n , {\displaystyle n,} a {\displaystyle a} jest pierwiastkiem pierwotnym mod n {\displaystyle {\bmod {n}}} wtedy i tylko wtedy, gdy a {\displaystyle a} jest nieresztą kwadratową mod n . {\displaystyle {\bmod {n}}.}
  • Liczba Fermata F n > 3 {\displaystyle F_{n}>3} jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:
F n = ( 2 2 n 1 ) 2 + 1 2 . {\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.}

Stąd nowy dowód, że F 5 {\displaystyle F_{5}} nie jest pierwsza, bowiem F 5 = 62264 2 + 20449 2 . {\displaystyle F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.} Podobnie F 6 = 4046803256 2 + 1438793759 2 {\displaystyle F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2}} i F 7 = 16382350221535464479 2 + 8479443857936402504 2 . {\displaystyle F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.}

Liczby pierwsze Fermata w geometrii | edytuj kod

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że n {\displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n {\displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k p 1 p 2 p s , {\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},} gdzie p 1 , p 2 , p s {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s}} są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny ( k = 0 , s = 1 , p 1 = F 1 ) {\displaystyle (k=0,s=1,p_{1}=F_{1})} i sześciokąt foremny ( k = 1 , s = 1 , p 1 = F 0 ) , {\displaystyle (k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),} ale już nie siedmiokąt foremny.

Kontrola autorytatywna (liczba naturalna):
Na podstawie artykułu: "Liczby Fermata" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy