Liczby całkowite Gaussa


Liczby całkowite Gaussa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako { a + b i : a , b Z i 2 = 1 } {\displaystyle \{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \wedge i^{2}=-1\}} [1].

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez Z i . {\displaystyle \mathbb {Z} [i].} Z i {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia Z i {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} są: 1 , 1 , i , i {\displaystyle 1,-1,i,-i} [a]. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są i {\displaystyle -i} oraz + i . {\displaystyle +i.} Grupa ta działa na Z i {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez + i {\displaystyle +i} ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

{ x + y i : x > 0 , y 0 } {\displaystyle \{x+yi:x>0,y\geqslant 0\}} (I ćwiartka), { x + y i : x 0 , y > 0 } {\displaystyle \{x+yi:x\leqslant 0,y>0\}} (II ćwiartka), { x + y i : x < 0 , y 0 } {\displaystyle \{x+yi:x<0,y\leqslant 0\}} (III ćwiartka), { x + y i : x 0 , y < 0 } {\displaystyle \{x+yi:x\geqslant 0,y<0\}} (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia Z i {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa[b]. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia Z {\displaystyle \mathbb {Z} } oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w z = x + y i Z i {\displaystyle z=x+yi\in \mathbb {Z} [i]} można opisać w następujący sposób:

  1. Jeśli kwadrat modułu | z | 2 = x 2 + y 2 {\displaystyle |z|^{2}=x^{2}+y^{2}} liczby z {\displaystyle z} jest w Z {\displaystyle \mathbb {Z} } liczbą pierwszą postaci 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} (gdzie n Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+}} ), to z {\displaystyle z} jest liczbą pierwszą w Z i . {\displaystyle \mathbb {Z} [i].} Każda liczba pierwsza w Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} postaci 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
  2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej 1 + i Z i . {\displaystyle 1+i\in \mathbb {Z} [i].}
  3. Liczba pierwsza w Z {\displaystyle \mathbb {Z} } postaci 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} jest liczbą pierwszą w Z i . {\displaystyle \mathbb {Z} [i].}

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny ( 1 , 1 , i , i ) . {\displaystyle (1,-1,i,-i).}

Przykłady | edytuj kod

  • Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
  • Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 1 + 2 i , 1 2 i . {\displaystyle 1+2i,1-2i.}
  • Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 2 + 3 i , 2 3 i . {\displaystyle 2+3i,2-3i.}
  • Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 1 + 4 i , 1 4 i . {\displaystyle 1+4i,1-4i.}
  • Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli u = a + b i {\displaystyle u=a+bi} i v = c + d i , {\displaystyle v=c+di,} to
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = | u | 2 | v | 2 = | u v | 2 = ( a c b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 , {\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=|u|^{2}\cdot |v|^{2}=|uv|^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2},}

czyli dla dowolnych liczb całkowitych a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d}

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 . {\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Na rysunku elementy odwracalne są zaznaczone kolorem czerwonym.
  2. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa są zaznaczone kolorem zielonym.

Przypisy | edytuj kod

  1. Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 22–29.

Bibliografia | edytuj kod

  • Gauss C.F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.
  • Hardy G.H., Wright E.M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford University Press, 1960.
  • Шнирельман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.
  • Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.
Na podstawie artykułu: "Liczby całkowite Gaussa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy