Liczby hiperrzeczywiste


Liczby hiperrzeczywiste w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste[1], liczby hiperrealne[2]) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych.

Spis treści

Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga) | edytuj kod

Konstrukcja zbioru | edytuj kod

Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi[a][3]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina U P ( I ) {\displaystyle U\subset {\mathcal {P}}(I)} spełniająca warunki:

  1. U , {\displaystyle \emptyset \notin U,}
  2. A , B U A B U , {\displaystyle A,B\in U\Rightarrow A\cap B\in U,}
  3. ( A U A B ) B U , {\displaystyle (A\in U\wedge A\subset B)\Rightarrow B\in U,}
  4. A I   A U I A U {\displaystyle \forall _{A\subset I}\ A\in U\vee I\setminus A\in U} [1][4][5][6].

Niech U {\displaystyle {\mathcal {U}}} będzie ultrafiltrem na N {\displaystyle \mathbb {N} } zawierającym filtr Frécheta F , {\displaystyle {\mathfrak {F}},} tzn. rodzinę F := { N N : # ( N N ) < } {\displaystyle {\mathfrak {F}}:=\{N\subset \mathbb {N} :\#(\mathbb {N} \setminus N)<\infty \}} [1][4]. Niech na produkcie R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja {\displaystyle \equiv } w sposób następujący:

( a n ) ( b n ) :⟺ { n N : a n = b n } U {\displaystyle (a_{n})\equiv (b_{n}):\Longleftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [1][3][7].

Jest to relacja równoważności[1][3][7], ponieważ {\displaystyle \equiv } jest:

  • zwrotna: { n N : a n = a n } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [3][7],
  • symetryczna: { n N : a n = b n } = { n N : b n = a n } {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}=\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=a_{n}\}} [3][7],
  • przechodnia: { n N : a n = b n } U { n N : b n = c n } U { n N : a n = b n } { n N : b n = c n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}\wedge \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}\Rightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [3][7].

Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji R := R N / {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\equiv }} [3][7].

Można zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } zawiera się w zbiorze liczb hiperrzeczywistych R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{*},} poprzez utożsamienie R r r := ( r , r , r , ) R {\displaystyle \mathbb {R} \ni r\mapsto r^{*}:=[(r,r,r,\dots )]\in \mathbb {R} ^{*}} [1][8][9], tzn. ciało ( { r : r R } , , , 0 , 1 , ) {\displaystyle (\{r^{*}:r\in \mathbb {R} \},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )} jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych ( R , + , , 0 , 1 , < ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)} [9].

Równość liczb hiperrzeczywistych można rozumieć tak, iż zbiór indeksów, na których wyrazy obu ciągów się zgadzają, musi należeć do ultrafiltru, tzn.: ( a n ) = ( b n ) { n N : a n = b n } U ; {\displaystyle [(a_{n})]=[(b_{n})]\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}};} oraz analogicznie dla nierówności: ( a n ) ( b n ) { n N : a n b n } U {\displaystyle [(a_{n})]\neq [(b_{n})]\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [8].

Konstrukcja ciała | edytuj kod

Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:

( a n ) ( b n ) := ( a n + b n ) {\displaystyle [(a_{n})]\oplus [(b_{n})]:=[(a_{n}+b_{n})]} [7][8] ( a n ) ( b n ) := ( a n b n ) {\displaystyle [(a_{n})]\odot [(b_{n})]:=[(a_{n}\cdot b_{n})]} [7][8].

Działania {\displaystyle \oplus } i {\displaystyle \odot } są dobrze zdefiniowane na R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} [7].

Dowód

Niech ( a n ) = ( a n ) {\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]} oraz ( b n ) = ( b n ) . {\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].} To znaczy, że { n N : a n = a n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} i { n N : b n = b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.} Zatem { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.} Ponieważ { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } { n N : a n + b n = a n + b n } , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\},} to { n N : a n + b n = a n + b n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} [7].

Niech ( a n ) = ( a n ) {\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]} oraz ( b n ) = ( b n ) . {\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].} To znaczy, że { n N : a n = a n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} i { n N : b n = b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.} Zatem { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.} Ponieważ { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } { n N : a n b n = a n b n } , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\},} to { n N : a n b n = a n b n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} [7]. {\displaystyle \square }

Struktura ( R , , , 0 , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})} jest ciałem przemiennym[10][11].

Dowód

Zauważyć można, że:

  • { n N : a n + b n = b n + a n } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=b_{n}+a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [10];
  • { n N : ( a n + b n ) + c n = a n + ( b n + c n ) } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})+c_{n}=a_{n}+(b_{n}+c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [10];
  • ( a n ) 0 = ( a n ) {\displaystyle [(a_{n})]\oplus 0^{*}=[(a_{n})]} [10];
  • Niech ( a n ) := ( a n ) ; {\displaystyle \ominus [(a_{n})]:=[(-a_{n})];} wtedy ( a n ) ( a n ) = 0 {\displaystyle [(a_{n})]\oplus [(-a_{n})]=0^{*}} [10];
  • { n N : a n b n = b n a n } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=b_{n}\cdot a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [10];
  • { n N : ( a n b n ) c n = a n ( b n c n ) } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}\cdot b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot (b_{n}\cdot c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [10];
  • ( a n ) 1 = ( a n ) {\displaystyle [(a_{n})]\odot 1^{*}=[(a_{n})]} [10];
  • Dla ( a n ) 0 {\displaystyle [(a_{n})]\neq 0^{*}} niech ( a n ) 1 := ( i n ) , {\displaystyle [(a_{n})]^{-1}:=[(i_{n})],} gdzie i n := { a n 1 , d l a   a n 0 1 , d l a   a n = 0 ; {\displaystyle i_{n}:={\begin{cases}a_{n}^{-1},&\mathrm {dla} \ a_{n}\neq 0\\1,&\mathrm {dla} \ a_{n}=0\end{cases}};} wtedy ( a n ) ( a n ) 1 = 1 {\displaystyle [(a_{n})]\odot [(a_{n})]^{-1}=1^{*}} [10][12];
  • { n N : ( a n + b n ) c n = a n c n + b n c n } = N U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot c_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}} [10]. {\displaystyle \square }

(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru | edytuj kod

Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1][13]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1][13].

Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Porządek liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Niech będzie dana relacja ( a n ) ( b n ) :⇔ { n N : a n < b n } U . {\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.} Jest ona dobrze zdefiniowana na R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} [14].

Dowód

Niech ( a n ) = ( a n ) , {\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')],} ( b n ) = ( b n ) {\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')]} i ( a n ) ( b n ) . {\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})].} To znaczy, że { n N : a n = a n } U , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}},} { n N : b n = b n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} oraz { n N : a n < b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.} Zatem { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } { n N : a n < b n } U . {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.} Ponieważ { n N : a n = a n } { n N : b n = b n } { n N : a n < b n } { n N : a n < b n } , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\},} to { n N : a n < b n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}} [14]. {\displaystyle \square }

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym ( R , , , 0 , 1 , ) , {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec ),} z porządkiem zdefiniowanym następująco:

( a n ) ( b n ) :⇔ { n N : a n < b n } U {\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [1][8][10][11][15].
Dowód

Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech E 1 := { n N : a n < b n } , {\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\},} E 2 := { n N : a n > b n } , {\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>b_{n}\},} E 3 := { n N : a n = b n } . {\displaystyle E_{3}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}.} Widać, że E i i j E j = {\displaystyle E_{i}\cap _{i\neq j}E_{j}=\emptyset } oraz E 1 E 2 E 3 = N U . {\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}.} Stąd wynika, że ! i { 1 , 2 , 3 }   E i U , {\displaystyle \exists !_{i\in \{1,2,3\}}\ E_{i}\in {\mathcal {U}},} co dowodzi stwierdzenia[12].

Można wykazać przechodniość relacji . {\displaystyle \prec .} Niech ( a n ) ( b n ) {\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]} oraz ( b n ) ( c n ) . {\displaystyle [(b_{n})]\prec [(c_{n})].} Widać, że { n N : a n < b n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} oraz { n N : b n < c n } U , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},} a także, że { n N : a n < b n } { n N : b n < c n } { n N : a n < c n } , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\},} skąd wynika, że { n N : a n < c n } U , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},} czyli ( a n ) ( c n ) {\displaystyle [(a_{n})]\prec [(c_{n})]} [12].

Zatem relacja {\displaystyle \prec } jest liniowym porządkiem[b][16][17] na R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.} Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym {\displaystyle \oplus } oraz multyplikatywnym . {\displaystyle \odot .}

Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn. ( ( a n ) ( b n ) ( c n ) ( d n ) ) ( a n ) ( c n ) ( b n ) ( d n ) . {\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge [(c_{n})]\prec [(d_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\oplus [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\oplus [(d_{n})].} Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż E 1 := { n N : a n < b n } U {\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} oraz E 2 := { n N : c n < d n } U . {\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :c_{n}<d_{n}\}\in {\mathcal {U}}.} Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że E 1 E 2 { n N : a n + c n < b n + d n } , {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\},} a skoro E 1 E 2 U , {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},} to { n N : a n + c n < b n + d n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [12].

Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn. ( ( a n ) ( b n ) 0 ( c n ) ) ( a n ) ( c n ) ( b n ) ( c n ) . {\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge 0^{*}\prec [(c_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\odot [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\odot [(c_{n})].} Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż E 1 := { n N : a n < b n } U {\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}} oraz E 2 := { n N : 0 < c n } U . {\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :0<c_{n}\}\in {\mathcal {U}}.} Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że E 1 E 2 { n N : a n c n < b n c n } , {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\},} a skoro E 1 E 2 U , {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},} to { n N : a n c n < b n c n } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\}\in {\mathcal {U}}} [12]. {\displaystyle \square }

Moduł liczby hiperrzeczywistej | edytuj kod

Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł[18] jako

| a | := { a ,  dla  0 a a ,  dla  a 0 {\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{ dla }}0^{*}\preceq a\\\ominus a,&{\mbox{ dla }}a\prec 0^{*}\end{cases}}} [19].

Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.: | ( a n ) | = ( | a n | ) {\displaystyle |[(a_{n})]|=[(|a_{n}|)]} [20].

Niearchimedesowość | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa[11][19][21].

Dowód

Można poczynić najpierw obserwację, że { n N : 0 < 1 / n } = N U , {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},} co oznacza, że 0 ( 1 / n ) {\displaystyle 0^{*}\prec [(1/n)]} [21]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to r R + n 0 N n > n 0   1 / n < r , {\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,} skąd wynika, że E := { n 0 + i } i = 1 { n N : 1 / n < r } {\displaystyle E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}} [21]. Zbiór E {\displaystyle E} należy do ultrafiltru U , {\displaystyle {\mathcal {U}},} zatem { n N : 1 / n < r } U {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}} [21]. Zatem:

r R +   0 ( 1 / n ) r , {\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},}

co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[21]. {\displaystyle \square }

Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:

  • r R n N   r n {\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ r\prec n} [19][22].

Rzeczywista domkniętość | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych ( R , , , 0 , 1 , ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )} jest rzeczywiście domknięte[23].

Zupełność w sensie Cauchy’ego | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych ( R , , , 0 , 1 , ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )} jest zupełne w sensie Cauchy’ego[24], tzn.:

( a n ) n N R ( ε R + k n > k   | a n a k | ε k n > k   a n = a k ) {\displaystyle \forall _{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{*}}{\Big (}\forall _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\exists _{k}\forall _{n>k}\ {\big [}|a_{n}\ominus a_{k}|\prec \varepsilon {\big ]}\Longrightarrow \exists _{k}\forall _{n>k}\ [a_{n}=a_{k}]{\Big )}} [24].
Dowód[24]

Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy ( a n ) . {\displaystyle (a_{n}).} Rodzinę przedziałów otwartych

{ ( 0 , | a i a j | ) : i , j N i j } {\displaystyle \{(0,|a_{i}\ominus a_{j}|):i,j\in \mathbb {N} \wedge i\neq j\}}

można uporządkować malejąco relacją inkluzji:

( 0 , r n + 1 ) ( 0 , r n ) , {\displaystyle (0,r_{n+1})\subset (0,r_{n}),} gdzie r k := | a i a j | . {\displaystyle r_{k}:=|a_{i}\ominus a_{j}|.}

Ponieważ { ( 0 , r n ) : n N } {\displaystyle \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}\neq \emptyset } [c], to r   r { ( 0 , r n ) : n N } . {\displaystyle \exists _{r}\ r\in \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}.} Niech ε := r 4 . {\displaystyle \varepsilon :={\frac {r}{4}}.} Wtedy istnieje takie k , {\displaystyle k,} że dla n , m > k , {\displaystyle n,m>k,} n m {\displaystyle n\neq m} zachodzi: | a n a m | r 2 , {\displaystyle |a_{n}\ominus a_{m}|\prec {\frac {r}{2}},} co stoi w sprzeczności z definicją liczby r . {\displaystyle r.}

Niech ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg ( a n k ) , {\displaystyle (a_{n_{k}}),} który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej. {\displaystyle \square }

Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Liczby ograniczone | edytuj kod

Zbiór liczb ograniczonych L {\displaystyle \mathbb {L} } definiuje się następująco:

L := { x R : n N   | x | n } {\displaystyle \mathbb {L} :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\exists _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec n^{*}\}} [19][25].

Struktura ( L , , , 0 , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {L} ,\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})} jest pierścieniem[19][26].

Liczby nieskończenie małe | edytuj kod

Zbiór liczb nieskończenie małych Ω {\displaystyle \Omega } definiuje się następująco:

Ω := { x R : n N   | x | ( 1 / n ) } {\displaystyle \Omega :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec (1/n)^{*}\}} [25].

Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:

Ω = { x R : r R +   | x | r } {\displaystyle \Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}} [19][25],

tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.

Zbiór Ω {\displaystyle \Omega } jest różny od { 0 } , {\displaystyle \{0\},} ponieważ należy do niego np. liczba ( 1 / n ) n = 1 {\displaystyle [(1/n)_{n=1}^{\infty }]} [14][19].

Struktura ( Ω , , 0 ) {\displaystyle (\Omega ,\oplus ,0^{*})} jest grupą[26], a ( Ω , , , 0 ) {\displaystyle (\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})} jest pierścieniem[19].

W zbiorze Ω {\displaystyle \Omega } nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[19].

Liczby nieskończenie duże | edytuj kod

Zbiór liczb nieskończenie dużych Ψ {\displaystyle \Psi } definiuje się następująco:

Ψ := { x R : n N   | x | n } {\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}} [25].

Zbiór Ψ {\displaystyle \Psi } jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba ( n ) n = 1 {\displaystyle [(n)_{n=1}^{\infty }]} [14].

Inne podzbiory | edytuj kod

W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.

  • liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne): N := { ( a n ) R : { n N : a n N } U } {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {N} \}\in {\mathcal {U}}\}} [d][1][27];
    • nieskończenie duże liczby hipernaturalne: N := N N , {\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }:=\mathbb {N} ^{*}\setminus \mathbb {N} ,} gdzie N {\displaystyle \mathbb {N} } rozumie się jako { n : n N } {\displaystyle \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}} [28][29].
  • liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne): Q := { ( a n ) R : { n N : a n Q } U } {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {Q} \}\in {\mathcal {U}}\}} [e][1][27].

Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla K N : {\displaystyle K\in \mathbb {N} ^{*}{:}}

K N k N   k K {\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\infty }\Leftrightarrow \forall _{k\in \mathbb {N} }\ k^{*}\prec K} [28],

czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.

Związki między strukturami | edytuj kod

Można udowodnić, że x Ω y L   x y Ω , {\displaystyle \forall _{x\in \Omega }\forall _{y\in \mathbb {L} }\ x\odot y\in \Omega ,} co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[19][26]. Co więcej, jest to ideał maksymalny[26][30], więc struktura ilorazowa L / Ω {\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }} jest ciałem[30][31]. Ciało L / Ω {\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }} jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } [30][31].

Można również zauważyć, że:

  • liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[32];
  • liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[32];
  • suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[32];
  • iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[32];
  • iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[32].

Warto zauważyć związek: L = r R r Ω {\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }r^{*}\oplus \Omega } [31]. To znaczy, że dla a L {\displaystyle a\in \mathbb {L} } zachodzi związek a = st ( a ) + ω {\displaystyle a={\mbox{st}}(a)+\omega } dla pewnej ω Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } [9].

Niech dla liczby a L {\displaystyle a\in \mathbb {L} } będzie dana μ ( a ) := { x L : a x } {\displaystyle \mu (a):=\{x\in \mathbb {L} :a\thickapprox x\}} [9]. Zbiór μ ( a ) {\displaystyle \mu (a)} nazywa się monadą[9]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:

L = r R μ ( r ) {\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }\mu (r)} [9].

Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych | edytuj kod

Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:

  • ( a + b ) = a b , {\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}\oplus b^{*},} dla a , b R ; {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;}
  • ( a b ) = a b , {\displaystyle (a\cdot b)^{*}=a^{*}\odot b^{*},} dla a , b , R ; {\displaystyle a,b,\in \mathbb {R} ;}
  • ( a ) 1 = ( a 1 ) , {\displaystyle (a^{*})^{-1}=(a^{-1})^{*},} dla a R { 0 } {\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} [20].

Relacja nieskończonej bliskości | edytuj kod

W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:

x , y R   x y :⟺ x y Ω {\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox y:\Longleftrightarrow x\ominus y\in \Omega } [30][31][32].

To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[31][32]. Relacja {\displaystyle \thickapprox } jest relacją równoważności[30][31][32].

Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[32].

Dowód

Niech a , b R , {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,} a b {\displaystyle a\neq b} oraz a b . {\displaystyle a^{*}\thickapprox b^{*}.} Zauważmy, że r R   r 0 a b = r . {\displaystyle \exists _{r\in \mathbb {R} }\ r\neq 0\wedge a-b=r.} Lecz r Ω , {\displaystyle r^{*}\notin \Omega ,} zatem a b ; {\displaystyle a\not \thickapprox b;} sprzeczność[32]. {\displaystyle \square }

Twierdzenie o części standardowej | edytuj kod

 Osobny artykuł: Twierdzenie o części standardowej.

Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

a L   ! r R   a r {\displaystyle \forall _{a\in \mathbb {L} }\ \exists !_{r\in \mathbb {R} }\ a\thickapprox r^{*}} [31][33].

Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[31][33], którą można oznaczyć np. jako st ( a ) {\displaystyle {\mbox{st}}(a)} [9][34]. Tzn. część standardowa st ( a ) {\displaystyle {\mbox{st}}(a)} liczby ograniczonej a {\displaystyle a} to liczba spełniająca relację: ( st ( a ) ) a {\displaystyle ({\mbox{st}}(a))^{*}\thickapprox a} [34].

Rozszerzone ciągi i funkcje | edytuj kod

Dowolną funkcję rzeczywistą f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej f : R R , {\displaystyle f^{*}\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},} jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:

f ( ( a n ) ) := ( f ( a n ) ) {\displaystyle f^{*}([(a_{n})]):=[(f(a_{n}))]} [29][35][36].

Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:

f ( x ) = ( f ( x ) ) = ( f ( x ) ) {\displaystyle f^{*}(x^{*})=[(f(x))]=(f(x))^{*}} [29][35].

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych ( a n ) R {\displaystyle (a_{n})\subset \mathbb {R} } można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego ( a K ) R , {\displaystyle (a_{K})\subset \mathbb {R} ^{*},} jako funkcję:

N K r K R {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\ni K\mapsto r_{K}\in \mathbb {R} ^{*}} [f][28][29][36].

Ciąg Cauchy’ego | edytuj kod

Ciąg rzeczywisty ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest ciągiem Cauchy’ego K , L N   a K a L {\displaystyle \Longleftrightarrow \forall _{K,L\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox a_{L}^{*}} [37].

Punkt skupienia ciągu | edytuj kod

Punkt s {\displaystyle s} jest punktem skupienia ciągu ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} K N   a K s {\displaystyle \Longleftrightarrow \exists _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox s} [37].

Ciągłość funkcji | edytuj kod

Funkcja f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } jest ciągła w punkcie x 0 R , {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,} gdy

x R   x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) {\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox x_{0}^{*}\Rightarrow f^{*}(x)\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})} [37][38][39].
Przykład

Funkcja f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} jest ciągła w każdym punkcie[40].

Niech x 0 {\displaystyle x_{0}} będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany x {\displaystyle x} taki, że x x 0 {\displaystyle x^{*}\thickapprox x_{0}^{*}} [40]. Zatem ω Ω   x = x 0 ω {\displaystyle \exists _{\omega \in \Omega }\ x=x_{0}\oplus \omega } [40]. Zatem:

f ( x ) = f ( x 0 ω ) = ( x 0 ) 2 2 x 0 ω ω 2 {\displaystyle f^{*}(x^{*})=f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \omega )=(x_{0}^{*})^{2}\oplus 2x_{0}^{*}\omega \oplus \omega ^{2}} [40].

Zatem:

f ( x ) f ( x 0 ) = ω ( 2 x 0 ω ) , {\displaystyle f^{*}(x^{*})\ominus f^{*}(x_{0}^{*})=\omega \odot (2x_{0}^{*}\oplus \omega ),}

co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[40]. Zatem f ( x ) f ( x 0 ) {\displaystyle f^{*}(x^{*})\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})} [40]. {\displaystyle \square }

Granice | edytuj kod

W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:

( r n ) R g R   lim n r n = g K N   r K g {\displaystyle \forall _{(r_{n})\subset \mathbb {R} }\forall _{g\in \mathbb {R} }\ \lim _{n\to \infty }r_{n}=g\Longleftrightarrow \forall _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ r_{K}\thickapprox g^{*}} [35][37].

Pochodne | edytuj kod

Niech f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } i niech P R . {\displaystyle P\in \mathbb {R} .} Wtedy:

f ( x 0 ) = P ε Ω ε 0   P f ( x 0 ε ) f ( x 0 ) ε {\displaystyle f'(x_{0})=P\Longleftrightarrow \forall _{\varepsilon \in \Omega \wedge \varepsilon \neq 0^{*}}\ P^{*}\thickapprox {\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}} [37][38][41],

co inaczej można zapisać:

f ( x 0 ) = st ( f ( x 0 ε ) f ( x 0 ) ε ) {\displaystyle f'(x_{0})={\mbox{st}}\left({\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}\right)} [41].
Przykład

Dla f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} w dowolnym punkcie istnieje pochodna i f ( x ) = 2 x {\displaystyle f'(x)=2x} [41].

f ( x ε ) f ( x ) ε = ( x ε ) 2 x 2 ε = 2 x ε 2 x     {\displaystyle {\frac {f^{*}(x^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x^{*})}{\varepsilon }}={\frac {(x\oplus \varepsilon )^{2}\ominus x^{2}}{\varepsilon }}=2x\oplus \varepsilon \thickapprox 2x\ \ \square } [41]

Uwagi | edytuj kod

  1. Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako R N / U , {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\mathcal {U}},} gdzie U {\displaystyle {\mathcal {U}}} jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji: X I / U , {\displaystyle X^{I}/_{\mathfrak {U}},} gdzie X {\displaystyle X} i I {\displaystyle I} są nieskończonymi zbiorami, a U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} jest ultrafiltrem niegłównym.
  2. Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku: < {\displaystyle <} jest liniowym porządkiem na F , {\displaystyle \mathbb {F} ,} gdy relacja < {\displaystyle <} jest przechodnia oraz x , y F   x < y _ x = y _ x > y . {\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {F} }\ x<y{\underline {\lor }}x=y{\underline {\lor }}x>y.}
  3. Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu.
  4. N { n : n N } . {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\neq \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}.}
  5. Q { q : q Q } . {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\neq \{q^{*}:q\in \mathbb {Q} \}.}
  6. Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 181.
  2. Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
  3. a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
  4. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
  5. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
  6. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
  7. a b c d e f g h i j k Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
  8. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
  9. a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 184.
  10. a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
  11. a b c Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
  12. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
  13. a b Alexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
  14. a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  15. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
  16. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
  17. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
  18. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 258.
  19. a b c d e f g h i j Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 182.
  20. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
  21. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
  22. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
  23. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
  24. a b c Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 187.
  25. a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  26. a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
  27. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
  28. a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
  29. a b c d Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 185.
  30. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 183.
  31. a b c d e f g h Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
  32. a b c d e f g h i j Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
  33. a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
  34. a b Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
  35. a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
  36. a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
  37. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 186.
  38. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
  39. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
  40. a b c d e f Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
  41. a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.
Na podstawie artykułu: "Liczby hiperrzeczywiste" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy