Liczby hiperrzeczywiste

Liczby hiperrzeczywiste w encyklopedii

Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste^[1], liczby hiperrealne^[2]) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych.

Spis treści

• 1 Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)
  • 1.1 Konstrukcja zbioru
  • 1.2 Konstrukcja ciała
  • 1.3 (Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru
• 2 Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych
  • 2.1 Porządek liczb hiperrzeczywistych
    • 2.1.1 Moduł liczby hiperrzeczywistej
  • 2.2 Niearchimedesowość
  • 2.3 Rzeczywista domkniętość
  • 2.4 Zupełność w sensie Cauchy’ego
• 3 Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych
  • 3.1 Liczby ograniczone
  • 3.2 Liczby nieskończenie małe
  • 3.3 Liczby nieskończenie duże
  • 3.4 Inne podzbiory
  • 3.5 Związki między strukturami
• 4 Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych
  • 4.1 Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych
  • 4.2 Relacja nieskończonej bliskości
  • 4.3 Twierdzenie o części standardowej
  • 4.4 Rozszerzone ciągi i funkcje
    • 4.4.1 Ciąg Cauchy’ego
    • 4.4.2 Punkt skupienia ciągu
    • 4.4.3 Ciągłość funkcji
  • 4.5 Granice
  • 4.6 Pochodne
• 5 Uwagi
• 6 Przypisy

Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga) | edytuj kod

Konstrukcja zbioru | edytuj kod

Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi^[a][3]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina ${\displaystyle U\subset {\mathcal {P}}(I)}$ spełniająca warunki:

1. ${\displaystyle \emptyset \notin U,}$
2. ${\displaystyle A,B\in U\Rightarrow A\cap B\in U,}$
3. ${\displaystyle (A\in U\wedge A\subset B)\Rightarrow B\in U,}$
4. ${\displaystyle \forall _{A\subset I}\ A\in U\vee I\setminus A\in U}$^[1][4][5][6].

Niech ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ będzie ultrafiltrem na ${\displaystyle \mathbb {N} }$ zawierającym filtr Frécheta ${\displaystyle {\mathfrak {F}},}$ tzn. rodzinę ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:=\{N\subset \mathbb {N} :\#(\mathbb {N} \setminus N)<\infty \}}$^[1][4]. Niech na produkcie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja ${\displaystyle \equiv }$ w sposób następujący:

Jest to relacja równoważności^[1][3][7], ponieważ ${\displaystyle \equiv }$ jest:

• zwrotna: ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[3][7],
• symetryczna: ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}=\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=a_{n}\}}$^[3][7],
• przechodnia: ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}\wedge \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}\Rightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$^[3][7].

Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\equiv }}$^[3][7].

Można zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zawiera się w zbiorze liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*},}$ poprzez utożsamienie ${\displaystyle \mathbb {R} \ni r\mapsto r^{*}:=[(r,r,r,\dots )]\in \mathbb {R} ^{*}}$^[1][8][9], tzn. ciało ${\displaystyle (\{r^{*}:r\in \mathbb {R} \},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)}$^[9].

Równość liczb hiperrzeczywistych można rozumieć tak, iż zbiór indeksów, na których wyrazy obu ciągów się zgadzają, musi należeć do ultrafiltru, tzn.: ${\displaystyle [(a_{n})]=[(b_{n})]\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}};}$ oraz analogicznie dla nierówności: ${\displaystyle [(a_{n})]\neq [(b_{n})]\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$^[8].

Konstrukcja ciała | edytuj kod

Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:

Działania ${\displaystyle \oplus }$ i ${\displaystyle \odot }$ są dobrze zdefiniowane na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$^[7].

Niech ${\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]}$ oraz ${\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].}$ To znaczy, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$ i ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}$ Zatem ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}$ Ponieważ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\},}$ to ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$^[7].

Niech ${\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]}$ oraz ${\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].}$ To znaczy, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$ i ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}$ Zatem ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}$ Ponieważ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\},}$ to ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$^[7]. ${\displaystyle \square }$

Struktura ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})}$ jest ciałem przemiennym^[10][11].

Zauważyć można, że:

• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=b_{n}+a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[10];
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})+c_{n}=a_{n}+(b_{n}+c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[10];
• ${\displaystyle [(a_{n})]\oplus 0^{*}=[(a_{n})]}$^[10];
• Niech ${\displaystyle \ominus [(a_{n})]:=[(-a_{n})];}$ wtedy ${\displaystyle [(a_{n})]\oplus [(-a_{n})]=0^{*}}$^[10];
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=b_{n}\cdot a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[10];
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}\cdot b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot (b_{n}\cdot c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[10];
• ${\displaystyle [(a_{n})]\odot 1^{*}=[(a_{n})]}$^[10];
• Dla ${\displaystyle [(a_{n})]\neq 0^{*}}$ niech ${\displaystyle [(a_{n})]^{-1}:=[(i_{n})],}$ gdzie ${\displaystyle i_{n}:={\begin{cases}a_{n}^{-1},&\mathrm {dla} \ a_{n}\neq 0\\1,&\mathrm {dla} \ a_{n}=0\end{cases}};}$ wtedy ${\displaystyle [(a_{n})]\odot [(a_{n})]^{-1}=1^{*}}$^[10][12];
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot c_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}$^[10]. ${\displaystyle \square }$

(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru | edytuj kod

Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego^[1][13]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru^[1][13].

Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Porządek liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Niech będzie dana relacja ${\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}$ Jest ona dobrze zdefiniowana na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$^[14].

Niech ${\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')],}$ ${\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')]}$ i ${\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})].}$ To znaczy, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}},}$ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$ oraz ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}$ Zatem ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}$ Ponieważ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\},}$ to ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}$^[14]. ${\displaystyle \square }$

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec ),}$ z porządkiem zdefiniowanym następująco:

Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech ${\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\},}$ ${\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>b_{n}\},}$ ${\displaystyle E_{3}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}.}$ Widać, że ${\displaystyle E_{i}\cap _{i\neq j}E_{j}=\emptyset }$ oraz ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}.}$ Stąd wynika, że ${\displaystyle \exists !_{i\in \{1,2,3\}}\ E_{i}\in {\mathcal {U}},}$ co dowodzi stwierdzenia^[12].

Można wykazać przechodniość relacji ${\displaystyle \prec .}$ Niech ${\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]}$ oraz ${\displaystyle [(b_{n})]\prec [(c_{n})].}$ Widać, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$ oraz ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},}$ a także, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\},}$ skąd wynika, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},}$ czyli ${\displaystyle [(a_{n})]\prec [(c_{n})]}$^[12].

Zatem relacja ${\displaystyle \prec }$ jest liniowym porządkiem^[b][16][17] na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$ Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym ${\displaystyle \oplus }$ oraz multyplikatywnym ${\displaystyle \odot .}$

Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn. ${\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge [(c_{n})]\prec [(d_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\oplus [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\oplus [(d_{n})].}$ Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż ${\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$ oraz ${\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :c_{n}<d_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}$ Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\},}$ a skoro ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},}$ to ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$^[12].

Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn. ${\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge 0^{*}\prec [(c_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\odot [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\odot [(c_{n})].}$ Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż ${\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$ oraz ${\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :0<c_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}$ Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\},}$ a skoro ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},}$ to ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\}\in {\mathcal {U}}}$^[12]. ${\displaystyle \square }$

Moduł liczby hiperrzeczywistej | edytuj kod

Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł^[18] jako

Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.: ${\displaystyle |[(a_{n})]|=[(|a_{n}|)]}$^[20].

Niearchimedesowość | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa^[11][19][21].

Można poczynić najpierw obserwację, że ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},}$ co oznacza, że ${\displaystyle 0^{*}\prec [(1/n)]}$^[21]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to ${\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,}$ skąd wynika, że ${\displaystyle E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}}$^[21]. Zbiór ${\displaystyle E}$ należy do ultrafiltru ${\displaystyle {\mathcal {U}},}$ zatem ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}}$^[21]. Zatem:

co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa^[21]. ${\displaystyle \square }$

Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:

• ${\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ r\prec n}$^[19][22].

Rzeczywista domkniętość | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ jest rzeczywiście domknięte^[23].

Zupełność w sensie Cauchy’ego | edytuj kod

Ciało liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ jest zupełne w sensie Cauchy’ego^[24], tzn.:

Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy ${\displaystyle (a_{n}).}$ Rodzinę przedziałów otwartych

można uporządkować malejąco relacją inkluzji:

Ponieważ ${\displaystyle \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}\neq \emptyset }$^[c], to ${\displaystyle \exists _{r}\ r\in \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}.}$ Niech ${\displaystyle \varepsilon :={\frac {r}{4}}.}$ Wtedy istnieje takie ${\displaystyle k,}$ że dla ${\displaystyle n,m>k,}$ ${\displaystyle n\neq m}$ zachodzi: ${\displaystyle |a_{n}\ominus a_{m}|\prec {\frac {r}{2}},}$ co stoi w sprzeczności z definicją liczby ${\displaystyle r.}$

Niech ${\displaystyle (a_{n})}$ będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg ${\displaystyle (a_{n_{k}}),}$ który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej. ${\displaystyle \square }$

Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Liczby ograniczone | edytuj kod

Zbiór liczb ograniczonych ${\displaystyle \mathbb {L} }$ definiuje się następująco:

Struktura ${\displaystyle (\mathbb {L} ,\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})}$ jest pierścieniem^[19][26].

Liczby nieskończenie małe | edytuj kod

Zbiór liczb nieskończenie małych ${\displaystyle \Omega }$ definiuje się następująco:

Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:

tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.

Zbiór ${\displaystyle \Omega }$ jest różny od ${\displaystyle \{0\},}$ ponieważ należy do niego np. liczba ${\displaystyle [(1/n)_{n=1}^{\infty }]}$^[14][19].

Struktura ${\displaystyle (\Omega ,\oplus ,0^{*})}$ jest grupą^[26], a ${\displaystyle (\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})}$ jest pierścieniem^[19].

W zbiorze ${\displaystyle \Omega }$ nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej^[19].

Liczby nieskończenie duże | edytuj kod

Zbiór liczb nieskończenie dużych ${\displaystyle \Psi }$ definiuje się następująco:

Zbiór ${\displaystyle \Psi }$ jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba ${\displaystyle [(n)_{n=1}^{\infty }]}$^[14].

Inne podzbiory | edytuj kod

W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.

• liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne): ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {N} \}\in {\mathcal {U}}\}}$^[d][1][27];
  • nieskończenie duże liczby hipernaturalne: ${\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }:=\mathbb {N} ^{*}\setminus \mathbb {N} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {N} }$ rozumie się jako ${\displaystyle \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}}$^[28][29].
• liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne): ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {Q} \}\in {\mathcal {U}}\}}$^[e][1][27].

Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla ${\displaystyle K\in \mathbb {N} ^{*}{:}}$

czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.

Związki między strukturami | edytuj kod

Można udowodnić, że ${\displaystyle \forall _{x\in \Omega }\forall _{y\in \mathbb {L} }\ x\odot y\in \Omega ,}$ co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych^[19][26]. Co więcej, jest to ideał maksymalny^[26][30], więc struktura ilorazowa ${\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }}$ jest ciałem^[30][31]. Ciało ${\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }}$ jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[30][31].

Można również zauważyć, że:

• liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą^[32];
• liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała^[32];
• suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża^[32];
• iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały^[32];
• iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży^[32].

Warto zauważyć związek: ${\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }r^{*}\oplus \Omega }$^[31]. To znaczy, że dla ${\displaystyle a\in \mathbb {L} }$ zachodzi związek ${\displaystyle a={\mbox{st}}(a)+\omega }$ dla pewnej ${\displaystyle \omega \in \Omega }$^[9].

Niech dla liczby ${\displaystyle a\in \mathbb {L} }$ będzie dana ${\displaystyle \mu (a):=\{x\in \mathbb {L} :a\thickapprox x\}}$^[9]. Zbiór ${\displaystyle \mu (a)}$ nazywa się monadą^[9]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:

Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych | edytuj kod

Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:

• ${\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}\oplus b^{*},}$ dla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;}$
• ${\displaystyle (a\cdot b)^{*}=a^{*}\odot b^{*},}$ dla ${\displaystyle a,b,\in \mathbb {R} ;}$
• ${\displaystyle (a^{*})^{-1}=(a^{-1})^{*},}$ dla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$^[20].

Relacja nieskończonej bliskości | edytuj kod

W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:

To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą^[31][32]. Relacja ${\displaystyle \thickapprox }$ jest relacją równoważności^[30][31][32].

Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie^[32].

Niech ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle a\neq b}$ oraz ${\displaystyle a^{*}\thickapprox b^{*}.}$ Zauważmy, że ${\displaystyle \exists _{r\in \mathbb {R} }\ r\neq 0\wedge a-b=r.}$ Lecz ${\displaystyle r^{*}\notin \Omega ,}$ zatem ${\displaystyle a\not \thickapprox b;}$ sprzeczność^[32]. ${\displaystyle \square }$

Twierdzenie o części standardowej | edytuj kod

Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej^[31][33], którą można oznaczyć np. jako ${\displaystyle {\mbox{st}}(a)}$^[9][34]. Tzn. część standardowa ${\displaystyle {\mbox{st}}(a)}$ liczby ograniczonej ${\displaystyle a}$ to liczba spełniająca relację: ${\displaystyle ({\mbox{st}}(a))^{*}\thickapprox a}$^[34].

Rozszerzone ciągi i funkcje | edytuj kod

Dowolną funkcję rzeczywistą ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej ${\displaystyle f^{*}\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},}$ jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:

Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych ${\displaystyle (a_{n})\subset \mathbb {R} }$ można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego ${\displaystyle (a_{K})\subset \mathbb {R} ^{*},}$ jako funkcję:

Ciąg Cauchy’ego | edytuj kod

Ciąg rzeczywisty ${\displaystyle (a_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego ${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall _{K,L\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox a_{L}^{*}}$^[37].

Punkt skupienia ciągu | edytuj kod

Punkt ${\displaystyle s}$ jest punktem skupienia ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow \exists _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox s}$^[37].

Ciągłość funkcji | edytuj kod

Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest ciągła w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,}$ gdy

Funkcja ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ jest ciągła w każdym punkcie^[40].

Niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany ${\displaystyle x}$ taki, że ${\displaystyle x^{*}\thickapprox x_{0}^{*}}$^[40]. Zatem ${\displaystyle \exists _{\omega \in \Omega }\ x=x_{0}\oplus \omega }$^[40]. Zatem:

Zatem:

co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą^[40]. Zatem ${\displaystyle f^{*}(x^{*})\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})}$^[40]. ${\displaystyle \square }$

Granice | edytuj kod

W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:

Pochodne | edytuj kod

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ i niech ${\displaystyle P\in \mathbb {R} .}$ Wtedy:

co inaczej można zapisać:

Dla ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ w dowolnym punkcie istnieje pochodna i ${\displaystyle f'(x)=2x}$^[41].

Uwagi | edytuj kod

1. ↑ Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\mathcal {U}},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji: ${\displaystyle X^{I}/_{\mathfrak {U}},}$ gdzie ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle I}$ są nieskończonymi zbiorami, a ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ jest ultrafiltrem niegłównym.
2. ↑ Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku: ${\displaystyle <}$ jest liniowym porządkiem na ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ gdy relacja ${\displaystyle <}$ jest przechodnia oraz ${\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {F} }\ x<y{\underline {\lor }}x=y{\underline {\lor }}x>y.}$
3. ↑ Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu.
4. ↑ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\neq \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}.}$
5. ↑ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\neq \{q^{*}:q\in \mathbb {Q} \}.}$
6. ↑ Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!

Przypisy | edytuj kod

1. ↑ ^{a b c d e f g h i j k} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 181.
2. ↑ Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
3. ↑ ^{a b c d e f g} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
4. ↑ ^{a b} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
5. ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
6. ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
7. ↑ ^{a b c d e f g h i j k} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
8. ↑ ^{a b c d e} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
9. ↑ ^{a b c d e f g} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 184.
10. ↑ ^{a b c d e f g h i j k} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
11. ↑ ^{a b c} Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
12. ↑ ^{a b c d e} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
13. ↑ ^{a b} Alexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
14. ↑ ^{a b c d} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
15. ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
16. ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
17. ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
18. ↑ Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 258.
19. ↑ ^{a b c d e f g h i j} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 182.
20. ↑ ^{a b} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
21. ↑ ^{a b c d e} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
22. ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
23. ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
24. ↑ ^{a b c} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 187.
25. ↑ ^{a b c d} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
26. ↑ ^{a b c d} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
27. ↑ ^{a b} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
28. ↑ ^{a b c} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
29. ↑ ^{a b c d} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 185.
30. ↑ ^{a b c d e} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 183.
31. ↑ ^{a b c d e f g h} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
32. ↑ ^{a b c d e f g h i j} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
33. ↑ ^{a b} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
34. ↑ ^{a b} Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
35. ↑ ^{a b c} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
36. ↑ ^{a b} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
37. ↑ ^{a b c d e} Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 186.
38. ↑ ^{a b} Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
39. ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
40. ↑ ^{a b c d e f} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
41. ↑ ^{a b c d} Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.

Na podstawie artykułu: "Liczby hiperrzeczywiste" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy