Liczby porządkowe

Liczby porządkowe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków[1][2].

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację ⊆ , {\displaystyle \subseteq ,} tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór α {\displaystyle \alpha } jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element β ∈ α {\displaystyle \beta \in \alpha } jest podzbiorem α , {\displaystyle \alpha ,} tzn. ( ∀ β ∈ α ) ( β ⊆ α ) , {\displaystyle (\forall \beta \in \alpha )(\beta \subseteq \alpha ),} (ii) każde dwa różne elementy zbioru α {\displaystyle \alpha } są porównywalne w relacji ⊆ , {\displaystyle \subseteq ,} tzn. ( ∀ β , γ ∈ α ) ( β ≠ γ → β ⊆ γ   ∨   γ ⊆ β ) . {\displaystyle (\forall \beta ,\gamma \in \alpha )(\beta \neq \gamma \to \beta \subseteq \gamma \ \vee \ \gamma \subseteq \beta ).}

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru α {\displaystyle \alpha } zawiera element ε {\displaystyle \varepsilon } -minimalny: A ≠ 0 → ( ∃ c ∈ A ) ( c ∩ A = 0 ) {\displaystyle A\neq 0\to (\exists c\in A)(c\cap A=0)}

Dla liczb porządkowych α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } pisze się α < β , {\displaystyle \alpha <\beta ,} gdy α ∈ β . {\displaystyle \alpha \in \beta .}

Własności i przykłady | edytuj kod

  • Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
0 = ∅ {\displaystyle 0=\varnothing } 1 = { ∅ } {\displaystyle 1=\{\varnothing \}} 2 = { ∅ , { ∅ } } {\displaystyle 2=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}} 3 = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } {\displaystyle 3=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}} ω = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } , … } = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \omega =\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}} ω + 1 = ω ∪ { ω } {\displaystyle \omega +1=\omega \cup \{\omega \}} ω ⋅ 2 = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , ω , ω + 1 , ω + 2 , … } {\displaystyle \omega \cdot 2=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}} ω ⋅ 3 = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , ω , ω + 1 , ω + 2 , … , ω ⋅ 2 , ω ⋅ 2 + 1 , ω ⋅ 2 + 2 , … , } {\displaystyle \omega \cdot 3=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\}} ω ⋅ ω = ω 2 = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , ω , ω + 1 , ω + 2 , … , ω ⋅ 2 , ω ⋅ 2 + 1 , ω ⋅ 2 + 2 , … , … } {\displaystyle \omega \cdot \omega =\omega ^{2}=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\dots \}} ω ω = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , ω , ω + 1 , ω + 2 , … , ω ⋅ 2 , ω ⋅ 2 + 1 , ω ⋅ 2 + 2 , … , … , ω 2 , ω 2 + 1 , ω 2 + 2 , … , … } {\displaystyle \omega ^{\omega }=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\dots ,\omega ^{2},\omega ^{2}+1,\omega ^{2}+2,\dots ,\dots \}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa ω 1 + 1 = ω 1 ∪ { ω 1 } {\displaystyle \omega _{1}+1=\omega _{1}\cup \{\omega _{1}\}}
  • Jeśli α , {\displaystyle \alpha ,} β {\displaystyle \beta } i γ {\displaystyle \gamma } są liczbami porządkowymi to:
(a) α < β {\displaystyle \alpha <\beta } lub β < α {\displaystyle \beta <\alpha } lub α = β , {\displaystyle \alpha =\beta ,} (b) jeśli α < β {\displaystyle \alpha <\beta } i β < γ , {\displaystyle \beta <\gamma ,} to α < γ , {\displaystyle \alpha <\gamma ,} (c) α < β {\displaystyle \alpha <\beta } wtedy i tylko wtedy, gdy α ⊊ β , {\displaystyle \alpha \subsetneq \beta ,} (d) każdy element α {\displaystyle \alpha } jest liczbą porządkową, (e) α ∪ { α } {\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}} jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem α + 1. {\displaystyle \alpha +1.}
  • Jeśli A {\displaystyle A} jest zbiorem liczb porządkowych, to ⋃ A {\displaystyle \bigcup A} jest liczbą porządkową.
  • Jeśli ( X , ⊏ ) {\displaystyle (X,\sqsubset )} jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa α , {\displaystyle \alpha ,} że (silne) porządki ( X , ⊏ ) {\displaystyle (X,\sqsubset )} i ( α , ∈ ) {\displaystyle (\alpha ,\in )} są izomorficzne.
  • Jeśli C {\displaystyle C} jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki x ∈ C , {\displaystyle x\in C,} że x < y {\displaystyle x<y} lub x = y {\displaystyle x=y} dla wszystkich y ∈ C . {\displaystyle y\in C.}

Jeżeli liczba porządkowa α {\displaystyle \alpha } jest postaci β + 1 {\displaystyle \beta +1} dla pewnej liczby β , {\displaystyle \beta ,} to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby ω {\displaystyle \omega } i ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} są graniczne, a liczby ω + 1 {\displaystyle \omega +1} i ω 1 + 1 {\displaystyle \omega _{1}+1} są następnikowe.

Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Liczby porządkowe jako przestrzenie topologiczne | edytuj kod

Każda liczba porządkowa jest przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa z topologią porządkową.

Liczba porządkowa jako przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest następnikowa; w szczególności liczby ω {\displaystyle \omega } i ω 1 + 1 {\displaystyle \omega _{1}+1} są zwarte.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1966.
  2. ↑ H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1968.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Liczby porządkowe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy