Liczby wymierne


Liczby wymierne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Q . {\displaystyle \mathbb {Q} .} Wobec tego:

Q = { m n : m , n Z , n 0 } . {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych ( a , b ) Z × Z , {\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},} których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

( a , b ) ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} wtedy i tylko wtedy, gdy a d = b c . {\displaystyle ad=bc.}

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

  • ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) , {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}
  • ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , b d ) . {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}

Parę ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} zapisuje się zwykle w postaci ułamka a b , {\displaystyle {\tfrac {a}{b}},} bądź jeśli b = 1 , {\displaystyle b=1,} to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą a . {\displaystyle a.}

Własności | edytuj kod

  • Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
  • Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się | Q | = 0 {\displaystyle |\mathbb {Q} |=\aleph _{0}} ).
  • Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} liczby wymierne są gęste w R . {\displaystyle \mathbb {R} .}
Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych x , y R , x < y {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,\;x<y} istnieje liczba wymierna u Q , x < u < y . {\displaystyle u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.} Dowód Gdyby x , y {\displaystyle x,y} były wymierne, to oczywiście u = x + y 2 {\displaystyle u={\tfrac {x+y}{2}}} spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród x , y {\displaystyle x,y} jest niewymierne.
  • Jeśli x < 0 < y , {\displaystyle x<0<y,} to można przyjąć u = 0. {\displaystyle u=0.}
  • Jeśli 0 = x < y , {\displaystyle 0=x<y,} to ponieważ R {\displaystyle \mathbb {R} } jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } takie, że n > 1 y , {\displaystyle n>{\tfrac {1}{y}},} czyli 0 < 1 n < y . {\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<y.}
    Podobnie gdy x < y = 0 , {\displaystyle x<y=0,} wskazujemy n > 1 x {\displaystyle n>{\tfrac {1}{-x}}} i wówczas x < 1 n < 0. {\displaystyle x<{\tfrac {1}{-n}}<0.}
  • Niech więc 0 < x < y {\displaystyle 0<x<y} i niech np. x {\displaystyle x} jest niewymierne.
    Dla pewnego q N {\displaystyle q\in \mathbb {N} } zachodzi q > 1 y x , {\displaystyle q>{\tfrac {1}{y-x}},} stąd 1 < q ( y x ) . {\displaystyle 1<q(y-x).}
    Z drugiej strony istnieje p N {\displaystyle p\in \mathbb {N} } takie, że p > q x , {\displaystyle p>qx,} niech p 0 {\displaystyle p_{0}} będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że q x < p 0 < q x + 1. {\displaystyle qx<p_{0}<qx+1.} Rzeczywiście, gdyby p 0 q x + 1 , {\displaystyle p_{0}\geqslant qx+1,} to byłoby p 0 1 q x . {\displaystyle p_{0}-1\geqslant qx.} Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc p 0 1 > q x {\displaystyle p_{0}-1>qx} wbrew temu, że p 0 {\displaystyle p_{0}} jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych p {\displaystyle p} o własności p > q x . {\displaystyle p>qx.}
    Ostatecznie q x < p 0 < q x + 1 {\displaystyle qx<p_{0}<qx+1} łącznie z warunkiem 1 < q ( y x ) {\displaystyle 1<q(y-x)} daje
q x < p 0 < q x + q ( y x ) = q y {\displaystyle qx<p_{0}<qx+q(y-x)=qy} czyli x < p 0 q < y . {\displaystyle x<{\frac {p_{0}}{q}}<y.} Jeśli y {\displaystyle y} jest niewymierne i x {\displaystyle x} wymierne, to wystarczy znaleźć n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } takie, że n > y {\displaystyle n>y} i znaleźć jak poprzednio u Q {\displaystyle u\in \mathbb {Q} } spełniające 0 < n y < u < n x . {\displaystyle 0<n-y<u<n-x.} Wówczas n u Q {\displaystyle n-u\in \mathbb {Q} } i x < n u < y . {\displaystyle x<n-u<y.}
  • Jeśli x < y < 0 , {\displaystyle x<y<0,} to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie u Q {\displaystyle u\in \mathbb {Q} } spełniające 0 < y < u < x {\displaystyle 0<-y<u<-x} i wówczas x < u < y . {\displaystyle x<-u<y.}

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (rodzaj liczby):
Na podstawie artykułu: "Liczby wymierne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy