Liczby wymierne


Liczby wymierne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Q . {\displaystyle \mathbb {Q} .} Wobec tego:

Q = { m n : m , n Z , n 0 } . {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych ( a , b ) Z × Z , {\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},} których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

( a , b ) ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} wtedy i tylko wtedy, gdy a d = b c . {\displaystyle ad=bc.}

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

  • ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) , {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}
  • ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , b d ) . {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}

Parę ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} zapisuje się zwykle w postaci ułamka a b , {\displaystyle {\tfrac {a}{b}},} bądź jeśli b = 1 , {\displaystyle b=1,} to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą a . {\displaystyle a.}

Własności | edytuj kod

  • Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
  • Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się | Q | = 0 {\displaystyle |\mathbb {Q} |=\aleph _{0}} ).
  • Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} liczby wymierne są gęste w R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Liczby wymierne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy