Liczby względnie pierwsze


Liczby względnie pierwsze w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby względnie pierwszeliczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden.
Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby a , b , c , . . . d {\displaystyle a,b,c,...d} są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie NWD ( a , b , c , , d ) = 1. {\displaystyle {\mbox{NWD}}(a,b,c,\dots ,d)=1.}

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej n {\displaystyle n} jest liczbą liczb naturalnych między 1 a n , {\displaystyle n,} które są względnie pierwsze z n . {\displaystyle n.}

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

  • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
  • Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
  • Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności | edytuj kod

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład: NWD ( 4 , 6 , 9 ) = 1 , NWW ( 4 , 6 , 9 ) = 36 ,   4 6 9 = 216. {\displaystyle {\mbox{NWD}}(4,6,9)=1,{\mbox{NWW}}(4,6,9)=36,\ 4\cdot 6\cdot 9=216.}

Na to, aby liczby a , b {\displaystyle a,b} były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} spełniające równanie

a x + b y = 1. {\displaystyle ax+by=1.}

Ogólniej:
Na to, aby liczby a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite k 1 , . . . , k n {\displaystyle k_{1},...,k_{n}} spełniające równanie

k 1 a 1 + . . . + k n a n = 1. {\displaystyle k_{1}a_{1}+...+k_{n}a_{n}=1.}

Uogólnienie | edytuj kod

W pierścieniu przemiennym z jedynką R {\displaystyle R} ideały I {\displaystyle I} i J {\displaystyle J} nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna I + J {\displaystyle I+J} jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element d {\displaystyle d} dzieli a {\displaystyle a} i dzieli b {\displaystyle b} wynika, że d {\displaystyle d} jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (bo Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Liczby względnie pierwsze" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy