Logarytm


Logarytm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm (łac. [now.] logarithmusstosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb a , b > 0 , a 1 {\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1} liczba oznaczana log a b {\displaystyle \log _{a}b} będąca rozwiązaniem równania a x = b . {\displaystyle a^{x}=b.} Liczba a {\displaystyle a} nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba b {\displaystyle b} liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę a , {\displaystyle a,} aby otrzymać liczbę logarytmowaną b . {\displaystyle b.}

Przykłady

log 2 8 = 3 , {\displaystyle \log _{2}8=3,} gdyż 2 3 = 8 , {\displaystyle 2^{3}=8,} log 10 10000 = 4 , {\displaystyle \log _{10}10000=4,} gdyż 10 4 = 10000. {\displaystyle 10^{4}=10000.}

Logarytmy zostały odkryte w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie a > 0 , a 1 {\displaystyle a>0,a\neq 1} pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną f a : R + R {\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} } następująco:

f a : x f a ( x ) = log a x {\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x}


Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie 2 3 = 6 {\displaystyle 2\cdot 3=6} na dodawanie log 2 + log 3 = log 6 {\displaystyle \log 2+\log 3=\log 6}

Logarytm jest działaniem zewnętrznym: log : R + { 1 } × R + R {\displaystyle \log \colon \;\mathbb {R} _{+}\!\!\setminus \!\!\{1\}\times \mathbb {R} _{+}\;\to \;\mathbb {R} } zdefiniowanym równoważnością:

log a b = c a c = b {\displaystyle \log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b}

(zamiast log ( a , b ) {\displaystyle \log(a,b)} stosuje się symbolikę log a b {\displaystyle \log _{a}b} ).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

  • dla każdych a , b > 0 , a 1 {\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1} istnieje liczba rzeczywista c = log a b . {\displaystyle c=\log _{a}b.}

Jest też odwrotnie:

  • dla dowolnej liczby c R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } i dowolnej liczby a > 0 , a 1 {\displaystyle a>0,\;a\neq 1} istnieje dokładnie jedna liczba b > 0 {\displaystyle b>0} taka, że c = log a b ; {\displaystyle c=\log _{a}b;}
  • dla dowolnej liczby c R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } i dowolnej liczby b > 0 {\displaystyle b>0} istnieje dokładnie jedna liczba a > 0 , a 1 {\displaystyle a>0,a\neq 1} taka, że c = log a b . {\displaystyle c=\log _{a}b.}

Oznacza to, że przy ustalonym a {\displaystyle a} lub ustalonym b {\displaystyle b} działanie log {\displaystyle \log } jest różnowartościową suriekcją na zbiór R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Logarytm naturalny | edytuj kod

 Osobne artykuły: logarytm naturalnypodstawa logarytmu naturalnego.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą e {\displaystyle e} równą w przybliżeniu 2,718 281828. {\displaystyle 2{,}718281828.} Zwyczajowo zamiast log e x {\displaystyle \log _{e}x} pisze się ln x . {\displaystyle \ln x.} Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej exp , {\displaystyle \exp ,} dla której exp ( 1 ) = e , {\displaystyle \exp(1)=e,} postaci

exp ( x ) = k = 0 x k k ! , {\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},}

wtedy jej pochodna (również formalna) ( exp x ) = exp x , {\displaystyle (\exp x)'=\exp x,} co oznacza, że ( ln x ) = 1 x {\displaystyle (\ln x)'={\tfrac {1}{x}}} zamiast ( log a x ) = 1 x ln a , {\displaystyle (\log _{a}x)'={\tfrac {1}{x\ln a}},} ponieważ ln e = 1. {\displaystyle \ln e=1.} W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego e {\displaystyle e} jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny | edytuj kod

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu log x {\displaystyle \log x} albo lg x {\displaystyle \lg \;x} oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

log x = lg x = log 10 x . {\displaystyle \log x=\lg x=\log _{10}x.}

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności log ( x ) {\displaystyle \log(x)} oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby x > 1 x ¬ 1 10 n , n N {\displaystyle x>1\land x\neg 1*10^{n},n\in \mathbb {N} } jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym x , {\displaystyle x,} np.

log 5083495,424 = 6,706 1624. {\displaystyle \log 5083495{,}424=6{,}7061624.}

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

log 1 = 0 , log 10 = 1 , log 100 = 2 , {\displaystyle \log 1=0,\,\log 10=1,\,\log 100=2,\dots }

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie b , {\displaystyle b,} należy użyć logarytmu o podstawie b . {\displaystyle b.}

Własności | edytuj kod

Znaki liczby log a b {\displaystyle \log _{a}b} w zależności od wartości a , b : {\displaystyle a,b{:}}

Wprost z definicji logarytmu wynika:

a log a b = b , log a a b = b , log a 1 = 0 , log a a = 1. {\displaystyle a^{\log _{a}b}=b,\qquad \log _{a}a^{b}=b,\qquad \log _{a}1=0,\qquad \log _{a}a=1.}

Z własności potęgi wynikają następujące równości:

log a b c = log a b log a c {\displaystyle \log _{a}{\tfrac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c} log a b c n = c n log a b {\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{b^{c}}}={\tfrac {c}{n}}\log _{a}b}

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:

log a x = log b x log b a {\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}\qquad {}} albo log b a log a x = log b x , {\displaystyle {}\qquad \log _{b}a\cdot \log _{a}x=\log _{b}x,}

stąd przyjmując x = b {\displaystyle x=b}

log a b = 1 log b a {\displaystyle \log _{a}b={\tfrac {1}{\log _{b}a}}\qquad {}} albo log b a log a b = 1 {\displaystyle {}\qquad \log _{b}a\cdot \log _{a}b=1\qquad {}} w szczególności log e ln 10 = 1. {\displaystyle {}\qquad \log e\cdot \ln {10}=1.}

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

log a n b m = m n log a b , a l o g c b = b l o g c a , x y = a y log a x {\displaystyle \log _{a^{n}}b^{m}={\tfrac {m}{n}}\log _{a}b,\qquad a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a},\qquad x^{y}=a^{y\log _{a}x}} [a]

Dowody niektórych własności | edytuj kod

Wzór (1): Niech β = log a b , γ = log a c . {\displaystyle \beta =\log _{a}b,\;\gamma =\log _{a}c.} Stąd, zgodnie z definicją, a β = b , a γ = c . {\displaystyle a^{\beta }=b,\;a^{\gamma }=c.} Mnożąc stronami obie równości a β a γ = b c . {\displaystyle a^{\beta }a^{\gamma }=bc.} Ponieważ a β a γ = a β + γ , {\displaystyle a^{\beta }a^{\gamma }=a^{\beta +\gamma },} więc a β + γ = b c . {\displaystyle a^{\beta +\gamma }=bc.} Czyli β + γ = log a b c . {\displaystyle \beta +\gamma =\log _{a}bc.} Stąd teza.

Wzór (2): Niech β = log a b . {\displaystyle \beta =\log _{a}b.} Stąd, zgodnie z definicją, a β = b . {\displaystyle a^{\beta }=b.} Podnosząc obie strony do potęgi ( a β ) c = b c . {\displaystyle \left(a^{\beta }\right)^{c}=b^{c}.} Ponieważ ( a β ) c = a β c , {\displaystyle \left(a^{\beta }\right)^{c}=a^{\beta c},} więc a β c = b c . {\displaystyle a^{\beta c}=b^{c}.} Czyli β c = log a b c . {\displaystyle \beta c=\log _{a}b^{c}.} Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonej | edytuj kod

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech z {\displaystyle z} będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

gdzie:

  • k {\displaystyle k} jest dowolną liczbą całkowitą,
  • ln | z | {\displaystyle \ln |z|} jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby z {\displaystyle z} (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  • arg {\displaystyle \arg } to argument liczby zespolonej z , {\displaystyle z,}
  • ϕ {\displaystyle \phi } to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

ln 1 = 2 k π i , {\displaystyle \ln 1=2k\pi i,} ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 ) π i , {\displaystyle \ln(-1)=(2k+1)\pi i,} ln i = 4 k + 1 2 π i . {\displaystyle \ln i={\frac {4k+1}{2}}\pi i.}

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych k . {\displaystyle k.} Przyjmując k = 0 {\displaystyle k=0} otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Ln . {\displaystyle \operatorname {Ln} .} Inni[1] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

log w z = ln z ln w , {\displaystyle \log _{w}z={\frac {\ln z}{\ln w}},}

gdzie:

  • w {\displaystyle w} i z {\displaystyle z} są liczbami zespolonymi, z , w 0 , w 1 {\displaystyle z,w\neq 0,\;w\neq 1}
  • ln z {\displaystyle \ln z} i ln w {\displaystyle \ln w} są dane wzorem (1).

Oczywiście zbiór wartości log w z {\displaystyle \log _{w}z} jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm | edytuj kod

Liczbę przeciwną do logarytmu z x {\displaystyle x} nazywało się niegdyś kologarytmem x {\displaystyle x} i oznaczało clg x {\displaystyle \operatorname {clg} x} lub colog x . {\displaystyle \operatorname {colog} x.} Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu log x . {\displaystyle -\log x.} Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny | edytuj kod

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu b {\displaystyle b} (przy podstawie a {\displaystyle a} ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c , {\displaystyle c,} że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

a c = b . {\displaystyle a^{c}=b.}

Przykłady i zastosowania | edytuj kod

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Matematyka | edytuj kod

Inne dziedziny | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg x y , {\displaystyle x^{y},} Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Przypisy | edytuj kod

  1. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.
Kontrola autorytatywna (rodzaj funkcji matematycznej):
Na podstawie artykułu: "Logarytm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy