Logarytm naturalny


Logarytm naturalny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e {\displaystyle e} (liczba Eulera), gdzie e = 2,718 281828... {\displaystyle e=2{,}718281828...} Oznaczany symbolem log e {\displaystyle \log _{e}} lub ln . {\displaystyle \ln .} Spotykany jest również zapis log {\displaystyle \log } [1].

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do 1 e . {\displaystyle {\frac {1}{e}}.}

Spis treści

Logarytm jako pole pod wykresem | edytuj kod

Logarytm naturalny liczby a {\displaystyle a} można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} w przedziale od 1 {\displaystyle 1} do a : {\displaystyle a{:}}

Logarytm jako granica | edytuj kod

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

ln a = lim x 0 a x 1 x . {\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}

Dowód | edytuj kod

Oznaczmy:

Wtedy a x = 1 z + 1. {\displaystyle a^{x}={\frac {1}{z}}+1.} Logarytmując obustronnie przy podstawie e , {\displaystyle e,} otrzymujemy:

x ln a = ln ( 1 + 1 z ) , {\displaystyle x\ln a=\ln {(1+{\frac {1}{z}})},} 1 x = ln a ln ( 1 + 1 z ) . {\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln {(1+{\frac {1}{z}})}}}.}

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

a x 1 x = ln a z ln ( 1 + 1 z ) = ln a ln ( 1 + 1 z ) z . {\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln {(1+{\frac {1}{z}})}}}={\frac {\ln a}{\ln {(1+{\frac {1}{z}})^{z}}}}.}

Teraz należy wykazać, że przy x 0 {\displaystyle x\to 0} mianownik dąży do jednego. Otóż:

z = 1 a x 1 . {\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

lim x 0 a x 1 x = ln a ln lim z ( 1 + 1 z ) z . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }(1+{\frac {1}{z}})^{z}}}.}

Wyrażenie ( 1 + 1 z ) z {\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{z}}\right)^{z}} w mianowniku dąży do e , {\displaystyle e,} więc mianownik jest równy ln e = log e e = 1 , {\displaystyle \ln e=\log _{e}e=1,} co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego | edytuj kod

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

( log a x ) = lim Δ x 0 log a ( x + Δ x ) log a ( x ) Δ x = lim Δ x 0 1 Δ x log a ( x + Δ x x ) = lim Δ x 0 1 x log a ( 1 + Δ x x ) x Δ x = 1 x log a e = 1 x ln a . {\displaystyle {\begin{aligned}{(\log _{a}x)}'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}}

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie a = e {\displaystyle a=e} otrzymujemy: ( ln x ) = 1 x . {\displaystyle {(\ln x)}'={\frac {1}{x}}.}

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na n {\displaystyle n} -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: ( ln x ) ( n ) = 1 ( n 1 ) ( n 1 ) ! x n . {\displaystyle (\ln x)^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}.}

Własności | edytuj kod

  • ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y ) {\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)} dla x , y > 0 {\displaystyle x,y>0}
  • ln ( x ) < ln ( y ) {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)} dla 0 < x < y {\displaystyle 0<x<y}
  • h 1 + h ln ( 1 + h ) h {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h} dla h > 1 {\displaystyle h>-1}

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję ln : ( 0 , ) R {\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }

  • ln ( x y ) = ln ( x ) ln ( y ) {\displaystyle \ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(x)-\ln(y)} dla x , y > 0 {\displaystyle x,y>0}
  • Jeśli ciąg c n 0 , c n > 1 , c n 0 , {\displaystyle c_{n}\to 0,c_{n}>-1,c_{n}\neq 0,} to:
ln ( 1 + c n ) c n 1 {\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}
  • ln e x = x , {\displaystyle \ln e^{x}=x,}
  • e ln x = x {\displaystyle e^{\ln x}=x} dla x > 0 , {\displaystyle x>0,}
  • ln x   = ln 10 log x   2,303   log x {\displaystyle \ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x}
  • d x x = ln | x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}
  • f ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C}
  • ln ( x ) x 1 {\displaystyle \ln(x)\leqslant x-1}

Rozwinięcie w szereg Maclaurina | edytuj kod

ln ( 1 + x ) = n = 1 ( 1 ) n + 1 n x n = x x 2 2 + x 3 3 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots } dla 1 < x 1 {\displaystyle -1<x\leqslant 1} ln ( x ) = n = 1 ( 1 ) n + 1 n ( x 1 ) n = ( x 1 ) ( x 1 ) 2 2 + ( x 1 ) 3 3 ( x 1 ) 4 4 {\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots } dla 0 < x 2 {\displaystyle 0<x\leqslant 2}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Robert G. Mortimer: Mathematics for Physical Chemistry. Academic Press, 2005-06-10, s. 9. ISBN 0-08-049288-6. [dostęp 2017-08-22].
Na podstawie artykułu: "Logarytm naturalny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy