Lokalny homeomorfizm


Lokalny homeomorfizm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lokalny homeomorfizm – takie przekształcenie f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} przestrzeni topologicznych, że dla każdego x X {\displaystyle x\in X} istnieje takie otoczenie U x X {\displaystyle U_{x}\subseteq X} punktu x , {\displaystyle x,} że

f | U x : U x Y . {\displaystyle f|_{U_{x}}\colon U_{x}\to Y.}

jest homeomorfizmem na otwarty podzbiór przestrzeni Y {\displaystyle Y} [1].

Przykłady | edytuj kod

Powierzchnia Riemanna pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej
  • Każdy homeomorfizm jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Twierdzenie Poincarégo-Volterry:
Jeśli Y {\displaystyle Y} jest lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej, a X {\displaystyle X} jest spójną przestrzenią Hausdorffa oraz p : X Y {\displaystyle p\colon X\to Y} jest lokalnym homeomorfizmem, to przestrzeń X {\displaystyle X} jest także lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej[2].
  • Projekcja snopa jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem[3].
  • Przekształcenie φ : R C {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} } określone wzorem
φ ( x ) = e i x {\displaystyle \varphi (x)=e^{ix}} jest lokalnym homeomorfizmem prostej rzeczywistej na okrąg jednostkowy | z | = 1. {\displaystyle |z|=1.} Można je interpretować jako nawijanie prostej na okrąg.
  • Dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej n , {\displaystyle n,} przekształcenie
z z n {\displaystyle z\mapsto z^{n}} jest lokalnym homeomorfizmem C { 0 } C { 0 } . {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\}.} w = z 3 {\displaystyle w={\sqrt[{3}]{z}}} na płaszczyznę zespoloną jest homeomorfizmem lokalnym[4].

Przypisy | edytuj kod

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1975, s. 352.
  2. Николя Бурбаки: Oбщая топология. Основные структуры. Moskwa: Наука, 1968, s. 180–181. (ros.)
  3. Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 137–139.
  4. Borys Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 175–177.
Na podstawie artykułu: "Lokalny homeomorfizm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy