Macierz Jacobiego


Macierz Jacobiego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz Jacobiegomacierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste.

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.

Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski[potrzebny przypis]. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852)[1].

Spis treści

Definicja macierzy Jacobiego | edytuj kod

Założenia:

  • U {\displaystyle U} podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
  • f = f 1 , , f m {\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},\dots ,f_{m}]} funkcja wektorowa ze zbioru U {\displaystyle U} w przestrzeń R m , {\displaystyle \mathbb {R} ^{m},} mająca m {\displaystyle m} funkcji składowych f i {\displaystyle f_{i}} ze zbioru U {\displaystyle U} na zbiór liczb rzeczywistych, f i : U R , i = 1 , , m {\displaystyle f_{i}\colon U\to R,\,\,i=1,\dots ,m} o zmiennych x = ( x 1 , , x n ) U . {\displaystyle \mathrm {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in U.}

Jeżeli funkcja f {\displaystyle \mathbf {f} } ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie x U , {\displaystyle \mathrm {x} \in U,} to

(1) macierzą Jacobiego J f {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }} nazywa się macierz, której elementami J f i j , i = 1 , , m , j = 1 , , n {\displaystyle [\mathbf {J} _{\mathrm {f} }]_{ij},\,i=1,\dots ,m,\,\,j=1,\dots ,n} są funkcje f i x j i , j , {\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j},} tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

f 1 x 1 f 1 x n f m x 1 f m x n , {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},}

tj.

Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych x 1 , , x n , {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},} itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty f i {\displaystyle \nabla f_{i}} funkcji f i {\displaystyle f_{i}} tworzących funkcję f , {\displaystyle \mathrm {f} ,} tzn.

f 1 f m . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\vdots \\\nabla f_{m}\end{bmatrix}}.}

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla = x 1 , , x n {\displaystyle \nabla ={\Big [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big ]}} i funkcji f {\displaystyle \mathrm {f} } zapisanej w postaci kolumny, tj.

J f = f T , {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=\nabla \otimes f^{T},}

gdzie f T = f 1 , , f m T {\displaystyle \mathbf {f} ^{T}=[f_{1},\dots ,f_{m}]^{T}} – kolumna zawierająca składowe funkcji f {\displaystyle \mathrm {f} } ( T {\displaystyle T} oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego J f {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }} funkcji f {\displaystyle \mathbf {f} } w punkcie x {\displaystyle \mathrm {x} } nazywa się macierz J f ( x ) , {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {x} ),} której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie x , {\displaystyle \mathrm {x} ,} tj.

f i x j ( x ) i , j . {\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}

Definicja jakobianu | edytuj kod

Definicja:

Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami[2]: det J f , {\displaystyle \det \mathbf {J} _{\mathrm {f} },} | J f | , {\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathrm {f} }|,} ( f 1 , , f n ) ( x 1 , , x n ) = o z n f x . {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}{\overset {\mathrm {ozn} }{=}}{\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathrm {x} }}.}

Przykłady | edytuj kod

Przykład 1: Jakobian 2 × 2 | edytuj kod

Dla funkcji f = f 1 , f 2 : R 2 R 2 , {\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},f_{2}]\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},} takiej że

f 1 ( x , y ) = x 2 + x y 3 , {\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+xy^{3},} f 2 ( x , y ) = x y + 1 {\displaystyle f_{2}(x,y)=xy+1}

jakobian wynosi

det J f = | f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y | = | ( x 2 + x y 3 ) x ( x 2 + x y 3 ) y ( x y + 1 ) x ( x y + 1 ) y | = | 2 x + y 3 3 x y 2 y x | = 2 x 2 + x y 3 3 x y 3 = 2 x 2 2 x y 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {J} _{\mathrm {f} }&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial x}}&{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial y}}\\{\frac {\partial (xy+1)}{\partial x}}&{\frac {\partial (xy+1)}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2x+y^{3}&3xy^{2}\\y&x\end{vmatrix}}\\&=2x^{2}+xy^{3}-3xy^{3}=2x^{2}-2xy^{3}\end{aligned}}.}

Przykład 2: Jakobian nie istnieje | edytuj kod

Dla funkcji f : R 3 R 4 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}} o 4 funkcjach składowych f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , 5 x 3 , 4 x 2 2 2 x 3 , x 3 sin x 1 ) , {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},\,5x_{3},\,4x_{2}^{2}-2x_{3},\,x_{3}\sin x_{1}),} tj.

y 1 = x 1 , {\displaystyle y_{1}=x_{1},} y 2 = 5 x 3 , {\displaystyle y_{2}=5x_{3},} y 3 = 4 x 2 2 2 x 3 , {\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3},} y 4 = x 3 sin x 1 . {\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}.}

a) macierz Jacobiego ma postać

J f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = y 1 x 1 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 2 x 2 y 2 x 3 y 3 x 1 y 3 x 2 y 3 x 3 y 4 x 1 y 4 x 2 y 4 x 3 = 1 0 0 0 0 5 0 8 x 2 2 x 3 cos x 1 0 sin x 1 . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianu | edytuj kod

Dla funkcji o składowych

y 1 = 5 x 2 , {\displaystyle y_{1}=5x_{2},} y 2 = 4 x 1 2 2 sin ( x 2 x 3 ) , {\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3}),} y 3 = x 2 x 3 {\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}}

jakobian ma wartość

| 0 5 0 8 x 1 2 x 3 cos ( x 2 x 3 ) 2 x 2 cos ( x 2 x 3 ) 0 x 3 x 2 | = 8 x 1 | 5 0 x 3 x 2 | = 40 x 1 x 2 . {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja f {\displaystyle \mathbf {f} } zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów R { 0 , 0 } . {\displaystyle R-\{0,0\}.}

Różniczkowy element powierzchni | edytuj kod

Twierdzenie o całce po powierzchni | edytuj kod

Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskie | edytuj kod

Transformacja ze współrzędnych biegunowych r , ϕ {\displaystyle r,\phi } do kartezjańskich x , y {\displaystyle x,y} dana jest z pomocą funkcji f : R + × 0 , 2 π ) R 2 {\displaystyle \mathrm {f} \colon R^{+}\times [0,2\pi )\to R^{2}} o 2 funkcjach składowych

f 1 x = r cos φ , {\displaystyle f_{1}\equiv x=r\cos \varphi ,} f 2 y = r sin φ . {\displaystyle f_{2}\equiv y=r\sin \varphi .}

a) Macierz Jacobiego ma postać

J f ( r , φ ) = x r x φ y r y φ = cos φ r sin φ sin φ r cos φ . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}

b) Jakobian

| J f | = r . {\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r.}

c) Różniczkowy element powierzchni

Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

f ( A ) f ( x , y ) d x d y = A f ( r cos φ , r sin φ ) r d r d φ . {\displaystyle \iint _{\mathrm {f} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}

Różniczkowy element objętości | edytuj kod

Twierdzenie o całce po objętości | edytuj kod

Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskie | edytuj kod

Przejście ze współrzędnych sferycznych ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} na kartezjańskie ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} dane jest za pomocą funkcji f : R + × 0 , π ) × 0 , 2 π ) R 3 {\displaystyle \mathbf {f} \colon R^{+}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )\to R^{3}} o 3 funkcjach składowych

x = r sin θ cos φ , {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,} y = r sin θ sin φ , {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi ,} z = r cos θ . {\displaystyle z=r\cos \theta .}

a) Macierz Jacobiego ma postać

J f ( r , θ , φ ) = x r x θ x φ y r y θ y φ z r z θ z φ = sin θ cos φ r cos θ cos φ r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ r sin θ 0 . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}

b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

| J f | = r 2 sin θ . {\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r^{2}\sin \theta .}

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych r , θ . {\displaystyle r,\theta .}

c) Różniczkowy element objętości

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

d V = d x d y d z . {\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

d V = | J f | d r d φ d θ = r 2 sin θ d r d φ d θ . {\displaystyle dV=|\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|dr\,d\varphi \,d\theta =r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}

Np. wykonując całkowanie funkcji f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy

  • zmienne x , y , z {\displaystyle x,y,z} wyrazić przez zmienne r , φ , θ , {\displaystyle r,\varphi ,\theta ,}
  • element objętości d V = d x d y d z {\displaystyle dV=dx\,dy\,dz} wyrazić przez równy mu element d V = r 2 sin θ d r d φ d θ . {\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}

Związek macierzy Jacobiego z pochodną Frécheta | edytuj kod

 Zobacz też: pochodna Fréchetapochodna Gâteaux.

(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja f {\displaystyle \mathrm {f} } jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie p U , {\displaystyle \mathrm {p} \in U,} to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta D f ( p ) , {\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {p} ),} jest macierz Jacobiego J f ( p ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )} funkcji f {\displaystyle \mathrm {f} } w punkcie p . {\displaystyle \mathrm {p} .}

(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy C 1 . {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}.}

(3) Funkcja f {\displaystyle \mathrm {f} } nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie p , {\displaystyle \mathrm {p} ,} by macierz Jacobiego J f ( p ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )} była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji f {\displaystyle \mathrm {f} } w punkcie p . {\displaystyle \mathrm {p} .} Oznacza to, że funkcja f {\displaystyle \mathrm {f} } jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego v {\displaystyle \mathbf {v} } istnieją pochodne f v ( p ) . {\displaystyle {\tfrac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathbf {v} }}(\mathrm {p} ).}

(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:

  • macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
  • gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).

(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Macierz Jacobiego jako macierz przekształcenia liniowego | edytuj kod

 Zobacz też: macierz przekształcenia liniowego.

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Jeff Miller, Jacobian [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].
  2. Jakobian, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22] .

Bibliografia | edytuj kod

Encyklopedia internetowa (macierz):
Na podstawie artykułu: "Macierz Jacobiego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy