Macierz nilpotentna


Macierz nilpotentna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz nilpotentnamacierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Spis treści

Przykład | edytuj kod

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

N = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , {\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}},}

bowiem kolejne potęgi tej macierzy N 2 , N 3 , N 4 {\displaystyle N^{2},N^{3},N^{4}} są równe:

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}

Własności | edytuj kod

  • Jeśli A {\displaystyle A} jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna k {\displaystyle k} taka, że A k = Θ , {\displaystyle A^{k}=\Theta ,} nie przekracza stopnia A . {\displaystyle A.}
  • Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej A {\displaystyle A} jest postaci F A ( λ ) = λ n , {\displaystyle F_{A}(\lambda )=\lambda ^{n},} stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
  • Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
  • Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
  • każda wielokrotność k A {\displaystyle k\cdot A} macierzy nilpotentnej A {\displaystyle A} też jest nilpotentna. Każda potęga A k {\displaystyle A^{k}} macierzy nilpotentnej A {\displaystyle A} też jest nilpotentna.

Postać Jordana | edytuj kod

Niech N k {\displaystyle N_{k}} będzie macierzą kwadratową stopnia k {\displaystyle k} postaci:

N k = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . {\displaystyle N_{k}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności N 1 = 0 , N 2 = 0 1 0 0 {\displaystyle N_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\;N_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

N k 1 0 0 0 N k 2 0 0 0 N k r {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{k_{1}}&0&\ldots &0\\0&N_{k_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &N_{k_{r}}\end{bmatrix}}}

dla pewnych k 1 , k 2 , , k r . {\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{r}.}

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała[a].

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. W ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte.
Na podstawie artykułu: "Macierz nilpotentna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy