Macierze podobne


Macierze podobne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Macierze podobnemacierze kwadratowe A , B {\displaystyle A,B} stopnia n {\displaystyle n} nad ciałem K , {\displaystyle \mathbb {K} ,} spełniające równość A = C 1 B C , {\displaystyle A=C^{-1}BC,} dla pewnej macierzy C {\displaystyle C} nieosobliwej[1].

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem . {\displaystyle \approx .} Podobieństwo macierzy zapisuje się: A B {\displaystyle A\approx B} [1].

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności[2], ponieważ jest:

  • zwrotna: A A , {\displaystyle A\approx A,} ponieważ A = I 1 A I , {\displaystyle A=I^{-1}AI,} gdzie I {\displaystyle I} to macierz identycznościowa;
  • symetryczna: ( A = C 1 B C B = ( C 1 ) 1 A C 1 ) ( A B B A ) ; {\displaystyle {\Big (}A=C^{-1}BC\Rightarrow B=(C^{-1})^{-1}AC^{-1}{\Big )}\Longrightarrow {\Big (}A\approx B\Rightarrow B\approx A{\Big )};}
  • przechodnia: ( A B B C ) ( A = D 1 B D B = E 1 C E ) A = ( E D ) 1 C ( E D ) A C {\displaystyle (A\approx B\wedge B\approx C)\Rightarrow (A=D^{-1}BD\wedge B=E^{-1}CE)\Rightarrow A=(ED)^{-1}C(ED)\Rightarrow A\approx C} [3].

Własności | edytuj kod

Macierz B {\displaystyle B} nazywa się podobną do macierzy A , {\displaystyle A,} jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa C , {\displaystyle C,} że B = C 1 A C . {\displaystyle B=C^{-1}AC.} Mówi się, że macierz B {\displaystyle B} powstaje z macierzy A {\displaystyle A} za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności[4]:

C 1 A 1 C + C 1 A 2 C + + C 1 A n C = C 1 ( A 1 + A 2 + + A n ) C ) , {\displaystyle C^{-1}A_{1}C+C^{-1}A_{2}C+\,\dots \,+C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}+A_{2}+\,\dots \,+A_{n})C),} C 1 A 1 C C 1 A 2 C + C 1 A n C = C 1 ( A 1 A 2 A n ) C . {\displaystyle C^{-1}A_{1}CC^{-1}A_{2}C+\,\dots \,C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}A_{2}\,\dots \,A_{n})C.}

W szczególności ( C 1 A C ) n = C 1 A n C {\displaystyle (C^{-1}AC)^{n}=C^{-1}A^{n}C} i ogólnie f ( C 1 A C ) = C 1 f ( A ) C {\displaystyle f(C^{-1}AC)=C^{-1}f(A)C} dla dowolnego wielomianu f ( λ ) . {\displaystyle f(\lambda ).}

Z ostatniej własności wynika, że

  • macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne ponieważ
| B λ E | = | C 1 A C λ C 1 E C | = | C 1 |   | A λ E |   | C | = | A λ E | . {\displaystyle |B-\lambda E|=|C^{-1}AC-\lambda C^{-1}EC|=|C^{-1}|\ |A-\lambda E|\ |C|=|A-\lambda E|.}

Wartości i wektory własne | edytuj kod

Macierze podobne A {\displaystyle A} i B = C 1 A C {\displaystyle B=C^{-1}AC} mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

x B = C 1 x A , {\displaystyle x_{B}=C^{-1}x_{A},}

gdzie C {\displaystyle C} jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

( A λ E ) x A = 0 ( B λ E ) x B = 0 } ( C 1 A C λ C 1 E C ) x B = 0 C 1 ( A λ E ) C x B = 0 ( A λ E ) x A = 0 x B = C 1 x A . {\displaystyle \left.{\begin{matrix}\quad (A-\lambda E)x_{A}=0\\\quad (B-\lambda E)x_{B}=0\end{matrix}}\;\;\right\}{\begin{matrix}\quad (C^{-1}AC-\lambda C^{-1}EC)x_{B}=0\\C^{-1}(A-\lambda E)Cx_{B}=0\\(A-\lambda E)x_{A}=0\end{matrix}}\;\to \;x_{B}=C^{-1}x_{A}.}

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 88, Definicja 5.9.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 88, Lemat 5.16.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 88, Lemat 5.16 – dowód.
  4. W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.
Na podstawie artykułu: "Macierze podobne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy