Mechanika klasyczna


Mechanika klasyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Mechanika klasyczna – dział mechaniki opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badanie równowagi ciał materialnych (statyka)[1]. Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu[2].

Do końca XIX wieku była uznawana za teorię dokładną, na początku XX wieku okazała się niepoprawna w niektórych sytuacjach. W celu wyjaśnienia niezgodności powstały nowe działy mechaniki:

Wymienione teorie w pewnym sensie obalają mechanikę klasyczną, choć są zbudowane na jej bazie pojęciowej i ją uzupełniają. Mimo to mechanika klasyczna jest nadal bardzo użyteczna, ponieważ:

  • jest prostsza w stosowaniu niż inne teorie,
  • z pewnymi przybliżeniami może być stosowana w szerokim zakresie,
  • stanowi podstawę pojęciową dla innych teorii.

Mechanika klasyczna może być używana do opisu ruchu zarówno obiektów rozmiaru makroskopowych (np. piłka, samochód), w tym obiektów astronomicznych (np. planety, galaktyki), jak i obiektów mikroskopijnej wielkości (np. cząsteczek organicznych, a nawet – w dużym przybliżeniu i w ograniczonym zakresie – do cząstek elementarnych). Przykładowo: równanie ruchu elektronu, wynikające z mechaniki klasycznej, poprawnie opisuje działanie mikroskopu elektronowego; dopiero do wyjaśnienia ograniczeń rozdzielczości tego mikroskopu potrzeba odwołania do mechaniki kwantowej, a wyjaśnienie działania mikroskopu elektronowego z użyciem samych pojęć mechaniki kwantowej byłoby trudne.

W ostatnich latach wzrastającym zainteresowaniem cieszy się dział mechaniki klasycznej o nazwie dynamika nieliniowa. Kluczowym pojęciem jest tu chaos, a głównym narzędziem – nieliniowe równania różniczkowe i iteracyjne.

Spis treści

Podsumowanie | edytuj kod

Chociaż mechanika klasyczna jest z grubsza zgodna z innymi „klasycznymi” teoriami, takimi jak klasyczna elektrodynamika i termodynamika, to pewne sprzeczności odkryte pod koniec XIX wieku są wyjaśniane przez współczesną fizykę. Przykładowo klasyczna elektrodynamika mówi, że prędkość światła w próżni jest stała dla wszystkich obserwatorów – jest to sprzeczne z mechaniką klasyczną, w wyniku czego powstała szczególna teoria względności.

W mechanice klasycznej można wydzielić poddziedziny:

  • kinematyka – opisująca ruch jako zagadnienie geometryczne,
  • statyka – zajmująca się ciałami nie poruszającymi się i warunkami pozostania ciał w spoczynku (równowadze),
  • dynamika – opisująca ruch ciał oraz zmiany ruchu ciał pod wpływem oddziaływań.

Opis ruchu | edytuj kod

Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest punkt materialny, który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy punkt materialny, np. elektron prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie – np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego, aby studiować takie obiekty, traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych, można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

Położenie i wielkości pochodne | edytuj kod

Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy układem odniesienia. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe e i i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\;i=1,2,3} ) przyporządkowujemy współrzędne x i {\displaystyle x^{i}}

x ( t ) = i = 1 3 x i ( t ) e i = x i ( t ) e i . {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{i=1}^{3}x^{i}(t)\mathbf {e} _{i}=x^{i}(t)\mathbf {e} _{i}.}

Wprowadza się pojęcie „ciało fizyczne” lub krótko „ciało” oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

Położenie ciała definiowane jest jako wektor x ( t ) , {\displaystyle \mathbf {x} (t),} ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu ( t ) {\displaystyle (t)} ).

Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)

v = d x d t = v i e i = d x i d t e i = x ˙ i e i . {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=v^{i}\mathbf {e} _{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\dot {x}}^{i}\mathbf {e} _{i}.}

Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie, czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana

a = d v d t = d 2 x i d t 2 e i . {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{i}.}

Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

Pojęcie siły i druga zasada dynamiki Newtona | edytuj kod

Druga zasada dynamiki Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli m {\displaystyle m} jest masą v {\displaystyle v} prędkością punktu materialnego, a F {\displaystyle F} jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:

F = d p d t = d ( m v ) d t . {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}.}

Wartość p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa m {\displaystyle m} jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:

F = m a , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}

gdzie: a {\displaystyle a} – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły F , {\displaystyle F,} która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.

F R = λ v , {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }=-\lambda \mathbf {v} ,}

gdzie:

λ {\displaystyle \lambda } – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała, minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci funkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do II prawa Newtona, otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu

m d 2 x i d t 2 = F i ( x ( t ) , t ) . {\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=F^{i}(\mathbf {x} (t),t).}

Dla przykładu, załóżmy że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

m d 2 x i d t 2 = λ d x i d t . {\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-\lambda {\frac {dx^{i}}{dt}}.}

Równanie to można scałkować otrzymując

v = v 0 e λ t / m , {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{-\lambda t/m},}

gdzie v 0 {\displaystyle v_{0}} jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym ( t = 0 ) . {\displaystyle (t=0).} Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

Cząstka swobodna | edytuj kod

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym

m d 2 x i d t 2 = 0. {\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=0.}

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

x i x i = R j i x j + v i t + x 0 i , {\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j}+v^{i}t+x_{0}^{i},} t t = t + t 0 . {\displaystyle t\rightarrow t'=t+t_{0}.}

Właściwe transformacje Galileusza to:

x i x i = x i + v i t + x 0 i , {\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+v^{i}t+x_{0}^{i},} t t = t + t 0 , {\displaystyle t\rightarrow t'=t+t_{0},}

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania, np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy u = d x d t , {\displaystyle {\vec {u}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}},} u = d x d t , {\displaystyle {\vec {u'}}={\frac {d{\vec {x'}}}{dt}},} z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy

u = u + v . {\displaystyle {\vec {u'}}={\vec {u}}+{\vec {v}}.}

Formalizm Lagrange’a | edytuj kod

Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange’a z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania S x ( t ) . {\displaystyle S[\mathbf {x} (t)].} Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange’a

L ( x , x ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)} S x ( t ) = t 0 t 1 d t L ( x , x ˙ , t ) . {\displaystyle S[\mathbf {x} (t)]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}dtL(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t).}

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange’a

d d t L x ˙ i = L x i . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}.}

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

p i = L x ˙ i , {\displaystyle p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}},}

a siłę jako

F i ( x , x ˙ , t ) = L x i . {\displaystyle F^{i}(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}.}

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange’a jako

L ( x , x ˙ , t ) = 1 2 m x ˙ 2 U ( x , x ˙ , t ) . {\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}-U(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t).}

Szczególną grupą są siły zachowawcze – mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

F = U {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla U}

lub

F i = U x i = i U . {\displaystyle \mathbf {F} ^{i}=-{\frac {\partial {U}}{\partial x^{i}}}=-\partial _{i}U.}

Niezwykle ważną w zastosowaniach cechą formalizmu Lagrange’a jest niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a względem wyboru układu współrzędnych. Fakt ten nie jest prawdziwy dla sformułowania Newtona, którego forma F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } ma miejsce tylko we współrzędnych kartezjańskich. Niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a umożliwia dobór współrzędnych dopasowanych do symetrii badanego układu mechanicznego lub jego więzów. Redukuje się w ten sposób liczbę stopni swobody problemu lub eliminuje z obliczeń konieczność rozważania sił więzów.

Energia układu fizycznego | edytuj kod

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

δ W = F δ r . {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δWtotal jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

δ W t o t a l = δ T , {\displaystyle \delta W_{\mathrm {total} }=\delta T,}

gdzie T {\displaystyle T} jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

T = m v 2 2 = 1 2 m x ˙ 2 . {\displaystyle T={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}.}

Dla obiektów złożonych z wielu punktów materialnych, energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych. Zatem

F δ r = U δ r = δ U {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =-\nabla U\cdot \delta \mathbf {r} =-\delta U} δ U = δ T {\displaystyle \Rightarrow -\delta U=\delta T} δ ( T + U ) = 0. {\displaystyle \Rightarrow \delta (T+U)=0.}

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

E = T + U = 1 2 m x ˙ 2 + U {\displaystyle E=T+U={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}+U}

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie energia, a zasada zachowania energii jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

Formalizm Hamiltona | edytuj kod

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd { x i , p i {\displaystyle x^{i},p^{i}} }. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

H ( x , p , t ) = i p i v i ( x , p , t ) L ( x , v ( x , p , t ) , t ) . {\displaystyle H(x,p,t)=\sum _{i}p_{i}v^{i}(x,p,t)-L(x,v(x,p,t),t).}

Dla cząstek w polu potencjału U {\displaystyle U}

H ( x , p , t ) = p 2 2 m + U ( x , t ) . {\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x,t).}

Równania Lagrange’a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

d p i d t = H x i = U x i = F i {\displaystyle {\frac {dp^{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{i}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x^{i}}}=F^{i}} d x i d t = H p i . {\displaystyle {\frac {dx^{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}.}

Definiując nawiasy Poissona

A , B = i ( A x i B p i B x i A p i ) {\displaystyle [A,B]=\sum _{i}\left({\frac {\partial A}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}\right)}

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F ( x , p ) {\displaystyle F(x,p)} z czasem można przedstawić jako

d F d t = H , F + F t . {\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-[H,F]+{\frac {\partial F}{\partial t}}.}

Jeżeli wielkość fizyczna F {\displaystyle F} jawnie nie zależy od czasu

F t = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=0,}

to będzie zachowana (jest stałą ruchu), gdy

d F d t = 0 H , F = 0 {\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=0\rightarrow [H,F]=0}

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy A , B = 0. {\displaystyle [A,B]=0.}

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie

x i , p j = δ i j . {\displaystyle [x^{i},p^{j}]=\delta _{ij}.}

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości (zasada nieoznaczoności).

Przypisy | edytuj kod

  1. Białkowski G, Mechanika klasyczna - Mechanika punktu materialnego i bryły sztywnej, PWN, Warszawa 1975
  2. Taylor J.R., Rączka P., Mechanika klasyczna, Tom 1 i 2, PWN, Warszawa 2006

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (mechanika):
Na podstawie artykułu: "Mechanika klasyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy