Metoda Kleina


Metoda Kleina w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda Kleina – metoda prognozowania na podstawie szeregów czasowych. Pozwala na konstrukcję modelu uwzględniającego tendencję rozwojową oraz wahania okresowe.

Postać modelu Kleina:

y t = f ( t ) + i = 1 r 1 α i Q i + ξ t , {\displaystyle y_{t}=f(t)+\sum \limits _{i=1}^{r-1}\alpha _{i}Q_{i}+\xi _{t},}

gdzie:

f ( t ) {\displaystyle f(t)} – funkcja trendu, Q i {\displaystyle Q_{i}} i {\displaystyle i} -ta zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden dla fazy o numerze i {\displaystyle i} oraz zero dla pozostałych faz cyklu, r {\displaystyle r} – liczba faz cyklu.

W sumie występuje o jeden składnik mniej, gdyż zakładamy, że funkcja trendu zawiera wyraz wolny β 0 . {\displaystyle \beta _{0}.} Przy r {\displaystyle r} składnikach sumy dodanie stałej do β 0 {\displaystyle \beta _{0}} i odjęcie jej od α i , i = 1 r {\displaystyle \alpha _{i},i=1\dots r} nie zmieniałoby wartości y t , {\displaystyle y_{t},} jeden parametr jest więc nadmiarowy.

W szczególności dla liniowej funkcji trendu f ( t ) = t β + β 0 {\displaystyle f(t)=t\beta +\beta _{0}} model przyjmuje postać:

y t = t β + β 0 + α 1 Q 1 + α 2 Q 2 + + α r 1 Q r 1 + ξ t . {\displaystyle y_{t}=t\beta +\beta _{0}+\alpha _{1}Q_{1}+\alpha _{2}Q_{2}+\dots +\alpha _{r-1}Q_{r-1}+\xi _{t}.}

Jak widać, współczynnik β 0 {\displaystyle \beta _{0}} wchodzi do sumy dla każdego t , {\displaystyle t,} natomiast α i {\displaystyle \alpha _{i}} tylko dla t = i + k r , k = 0 , 1 , . {\displaystyle t=i+kr,k=0,1,\dots .}

Można zmienić bazę współczynników za pomocą przekształcenia:

α 0 = β 0 , {\displaystyle \alpha '_{0}=\beta _{0},} α i = β 0 + α i , i = 1 r 1. {\displaystyle \alpha '_{i}=\beta _{0}+\alpha _{i},i=1\dots r-1.}

Otrzymamy wtedy bardziej elegancką postać modelu:

y t = t β + α 0 Q 0 + α 1 Q 1 + α 2 Q 2 + + α r 1 Q r 1 + ξ t , {\displaystyle y_{t}=t\beta +\alpha '_{0}Q_{0}+\alpha '_{1}Q_{1}+\alpha '_{2}Q_{2}+\dots +\alpha '_{r-1}Q_{r-1}+\xi _{t},}

czyli:

y t = t β + α t   m o d   r + ξ t . {\displaystyle y_{t}=t\beta +\alpha '_{t\ mod\ r}+\xi _{t}.}

Parametry modelu są zwykle estymowane metodą najmniejszych kwadratów (choć możliwe jest też zastosowanie innej metody regresji liniowej, np. regresji medianowej). Estymatory parametrów są wtedy powiązane zależnością:

α i ^ = y i ¯ β ^ t i ¯ , {\displaystyle {\hat {\alpha '_{i}}}={\overline {y_{i}}}-{\hat {\beta }}{\overline {t_{i}}},}

gdzie:

α i ^ {\displaystyle {\hat {\alpha '_{i}}}} – estymator parametru α i , {\displaystyle \alpha '_{i},} β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} – estymator parametru β , {\displaystyle \beta ,} y i ¯ {\displaystyle {\overline {y_{i}}}} – średnia wartość zmiennej prognozowanej w i {\displaystyle i} -tej fazie cyklu, t i ¯ {\displaystyle {\overline {t_{i}}}} – średnia wartość zmiennej czasowej w i {\displaystyle i} -tej fazie cyklu.

Bibliografia | edytuj kod

  • Maria Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, s. 92.
Na podstawie artykułu: "Metoda Kleina" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy