Metoda Tustina


Metoda Tustina w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda Tustina (zwana też transformatą Tustina lub transformatą biliniową) – oparta na aproksymacji metoda przekształcania układów czasu ciągłego (przedstawionych w przestrzeni Laplace’a) na układy czasu dyskretnego (przedstawione w przestrzeni Z) lub odwrotnie, stosowana w teorii sterowania.

Aby dokonać przekształcenia metodą Tustina, można użyć następujących podstawień w H ( s ) {\displaystyle H(s)} lub odpowiednio H ( z ) {\displaystyle H(z)} :

s = 2 T ( z 1 ) ( z + 1 ) , {\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}},}

przy transformacji z przestrzeni Laplace’a do przestrzeni Z (transformacja Tustina), albo

z = 2 + s T 2 s T {\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}}

przy transformacji z przestrzeni Z do przestrzeni Laplace’a.

Transformacja biliniowa mapuje zespoloną płaszczyznę S (przekształcenia Laplace’a) na zespoloną płaszczyznę Z (przekształcenia Z), mimo że przekształcenie to jest nieliniowe, użyteczne jest przez to, że mapuje całą oś j Ω {\displaystyle j\Omega } płaszczyzny S na okrąg jednostkowy płaszczyzny Z.

Jako taka, transformata Fouriera (która jest transformatą Laplace’a określoną na osi j Ω {\displaystyle j\Omega } ) staje się dyskretną transformatą Fouriera. Ma to miejsce przy założeniu, że transformata Fouriera istnieje; to znaczy, że oś j Ω {\displaystyle j\Omega } znajduje się w obszarze zbieżności transformaty Laplace’a.

Wyprowadzenie transformacji Tustina | edytuj kod

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Padé funkcji eksponencjalnej z = e s T {\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\end{aligned}}} :

z = e s T = e s T / 2 e s T / 2 1 + s T / 2 1 s T / 2 {\displaystyle z=e^{sT}={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}

i odwrotnie:

s = 1 T ln ( z ) = 2 T z 1 z + 1 + 1 3 ( z 1 z + 1 ) 3 + 1 5 ( z 1 z + 1 ) 5 + 1 7 ( z 1 z + 1 ) 7 + 2 T z 1 z + 1 = 2 T 1 z 1 1 + z 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}.\end{aligned}}}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Metoda Tustina" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy