Metryka Hausdorffa


Metryka Hausdorffa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej X . {\displaystyle X.}

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a H ( X ) {\displaystyle H(X)} przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni X . {\displaystyle X.} Niech A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} będą elementami przestrzeni H ( X ) , {\displaystyle H(X),} a x , y {\displaystyle x,y} elementami przestrzeni X , {\displaystyle X,} przy czym x A , y B . {\displaystyle x\in A,y\in B.} Wyrażenia:

δ ( x , B ) = inf { d ( x , y ) : y B } {\displaystyle \delta (x,B)=\inf\{d(x,y)\colon y\in B\}} δ ( y , A ) = inf { d ( x , y ) : x A } {\displaystyle \delta (y,A)=\inf\{d(x,y)\colon x\in A\}}

oznaczają odpowiednio odstęp punktu x {\displaystyle x} od zbioru B {\displaystyle B} i odstęp punktu y {\displaystyle y} od zbioru A . {\displaystyle A.} Z kolei wyrażenia:

δ ( A , B ) = sup { δ ( x , B ) : x A } {\displaystyle \delta (A,B)=\sup\{\delta (x,B)\colon x\in A\}} δ ( B , A ) = sup { δ ( y , A ) : y B } {\displaystyle \delta (B,A)=\sup\{\delta (y,A)\colon y\in B\}}

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru A {\displaystyle A} od zbioru B {\displaystyle B} i odstęp zbioru B {\displaystyle B} od zbioru A . {\displaystyle A.}
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję h : H ( X ) × H ( X ) 0 ; ) {\displaystyle h\colon H(X)\times H(X)\to [0;\infty )} określoną wzorem[1][2][3]:

h ( A , B ) = max { δ ( A , B ) , δ ( B , A ) } {\displaystyle h(A,B)=\max\{\delta (A,B),\delta (B,A)\}}

Uwagi | edytuj kod

  • Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów A {\displaystyle A} i B . {\displaystyle B.}
  • Gdy A B , {\displaystyle A\subseteq B,} to δ ( A , B ) = 0. {\displaystyle \delta (A,B)=0.}
  • Gdy B A , {\displaystyle B\backslash A\neq \emptyset ,} to δ ( B , A ) 0. {\displaystyle \delta (B,A)\neq 0.}
  • Odstępy δ ( A , B ) {\displaystyle \delta (A,B)} i δ ( B , A ) {\displaystyle \delta (B,A)} mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy A {\displaystyle A} jest podzbiorem właściwym zbioru B . {\displaystyle B.}
  • Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku ϵ {\displaystyle \epsilon } -otoczeń. Dla danego zbioru A {\displaystyle A} i ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} oznaczamy B ( x , ϵ ) {\displaystyle B(x,\epsilon )} kulę o środku x {\displaystyle x} i promieniu ϵ {\displaystyle \epsilon } oraz określamy
A ϵ = x A B ( x , ϵ ) . {\displaystyle A_{\epsilon }=\bigcup _{x\in A}B(x,\epsilon ).} Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia: h ( A , B ) = inf { ϵ : B A ϵ {\displaystyle h(A,B)=\inf \,\{\epsilon \colon B\subset A_{\epsilon }} oraz A B ϵ } . {\displaystyle A\subset B_{\epsilon }\}.}
  • Odwzorowanie x { x } {\displaystyle x\mapsto \{x\}} jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń H ( X ) . {\displaystyle H(X).} Ponadto zbiór { { x } : x X } {\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}} jest domknięty w H ( X ) , {\displaystyle H(X),} co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.
  • Przestrzeń ( H ( X ) , h ) , {\displaystyle (H(X),\,h),} z wprowadzoną metryką Hausdorffa h {\displaystyle h} jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy X {\displaystyle X} jest zupełna[1][2][4].
  • Topologia przestrzeni ( H ( X ) , h ) {\displaystyle (H(X),h)} zależy od topologii przestrzeni ( X , d ) , {\displaystyle (X,\,d),} a nie od samej metryki d : {\displaystyle d{:}} gdy metrykę d {\displaystyle d} zastąpić przez topologicznie równoważną d {\displaystyle d} ' (obie w X {\displaystyle X} ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w H ( X ) {\displaystyle H(X)} będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w H ( X ) {\displaystyle H(X)} ).
  • H ( X ) {\displaystyle H(X)} jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy X {\displaystyle X} jest przestrzenią zwartą.
  • Zbiór { F X : F {\displaystyle \{F\subset X\colon F} jest skończony } {\displaystyle \}} jest gęsty w H ( X ) . {\displaystyle H(X).}

Przykład | edytuj kod

W przestrzeni ( R 2 , d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)} z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: A : = 2 ; 1 × 2 ; 1 {\displaystyle A\colon =[-2;1]\times [-2;1]} oraz B : = 0 ; 2 × 0 ; 2 . {\displaystyle B\colon =[0;2]\times [0;2].} Odpowiednie odległości wynoszą:

δ ( A , B ) = 8 , {\displaystyle \delta (A,B)={\sqrt {8}},} δ ( B , A ) = 2 , {\displaystyle \delta (B,A)={\sqrt {2}},} h ( A , B ) = 8 . {\displaystyle h(A,B)={\sqrt {8}}.}

Uogólnienia | edytuj kod

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni X . {\displaystyle X.} W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni H ( X ) {\displaystyle H(X)} będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni X , {\displaystyle X,} ale też od użytej w X {\displaystyle X} metryki d . {\displaystyle d.}

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Barnsley 1988 ↓, s. 29–42.
  2. a b Engelking 1975 ↓, s. 363–364.
  3. Kudrewicz 2007 ↓, s. 28–30.
  4. Edgar 2008 ↓, s. 71–73.

Bibliografia | edytuj kod

  • Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.)
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
  • Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
  • Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71–73. (ang.)
Na podstawie artykułu: "Metryka Hausdorffa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy