Miara σ-skończona


Miara σ-skończona w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara skończonamiara przypisująca skończoną wartość przestrzeni mierzalnej, na której jest określona.

Miara σ-skończona (półskończona) – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się mutatis mutandis na dowolne funkcje zbiorów.

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie patologiczne. Większość zasadniczych twierdzeń teorii miary (przykładowo twierdzenie Fubiniego czy twierdzenie Radona-Nikodyma) wymaga założenia σ-skończoności miary.

Przykłady | edytuj kod

  • Miara Lebesgue’a w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż
R n = k = 1   k , k × × k , k n r a z y . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\bigcup _{k=1}^{\infty }~\underbrace {[-k,k]\times \dots \times [-k,k]} _{n\;\mathrm {razy} }.}
  • Miara licząca jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara σ-skończona" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy