Miara Dieudonnégo


Miara Dieudonnégo w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara Dieudonnégo – przykład miary zewnętrznie regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni ω 1 , {\displaystyle \omega _{1},} tj. przestrzeni wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonnégo.

Konstrukcja | edytuj kod

Na zbiorze (liczbie porządkowej) ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} można rozważać topologię porządkową. Można wykazać, że σ-ciało Bor(ω1) borelowskich podzbiorów przestrzeni ω1 daje się opisać w następujący sposób:

Bor ( ω 1 ) = { A ω 1 : ( C Club ( ω 1 ) ) ( C A C A = ) } , {\displaystyle {\mbox{Bor}}(\omega _{1})=\{A\subseteq \omega _{1}\colon \;(\exists {C\in \operatorname {Club} (\omega _{1})})(C\subseteq A\vee C\cap A=\varnothing )\},}

gdzie Club(ω1) oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej ω 1 , {\displaystyle \omega _{1},} tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.

Funkcja

μ : Bor ( ω 1 ) 0 , {\displaystyle \mu \colon {\mbox{Bor}}(\omega _{1})\to [0,\infty ]}

dana wzorem:

μ ( A ) = 1 , {\displaystyle \mu (A)=1,} gdy istnieje taki zbiór C ∈ Club(ω1), że C A, oraz μ ( A ) = 0 , {\displaystyle \mu (A)=0,} w przeciwnym wypadku,

dla A ∈ Bor(ω1), jest miarą. Miarę tę nazywa się miarą Dieudonnégo[1].

Własności | edytuj kod

  • μ ( ω 1 ) = 1 , {\displaystyle \mu (\omega _{1})=1,} więc miara Dieudonnégo jest miarą probablilistyczną; miara ta przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1.
  • Miara Dieudonnégo jest zewnętrznie regularna.
  • Miara Dieudonnégo jest zupełna.
  • Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω1 jest mierzalny w sensie miary Dieudonnégo (czyli każdy podzbiór ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony), tj. pod tym założeniem ω1 jest liczbą mierzalną. Jednocześnie istnieje podzbiór produktu ω 1 × ω 1 {\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{1}} który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowej[2]. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF + DC.)

Przypisy | edytuj kod

  1. Fremlin, David: Topological Measure Spaces, „Measure Theory”, tom 4. Torres Fremlin. ​ISBN 0-9538129-4-4​.
  2. Kharazishvili, A.B.: A note on the Sierpiński partition. Journal of Applied Analysis, 2(1996), s. 43. [1].
Na podstawie artykułu: "Miara Dieudonnégo" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy