Miara produktowa


Miara produktowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich σ {\displaystyle \sigma } -algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie | edytuj kod

Niech ( X 1 , A 1 ) {\displaystyle (X_{1},{\mathcal {A}}_{1})} oraz ( X 2 , A 2 ) {\displaystyle (X_{2},{\mathcal {A}}_{2})} będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech A 1 A 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}} oznacza σ {\displaystyle \sigma } -algebrę w zbiorze X 1 × X 2 , {\displaystyle X_{1}\times X_{2},} generowaną przez zbiory postaci B 1 × B 2 , {\displaystyle B_{1}\times B_{2},} gdzie B 1 A 1 {\displaystyle B_{1}\in {\mathcal {A}}_{1}} oraz B 2 A 2 . {\displaystyle B_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}.} Jeżeli miary μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} σ {\displaystyle \sigma } -skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na A 1 A 2 , {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},} nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem μ 1 × μ 2 , {\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2},} o tej własności, że

( μ 1 × μ 2 ) ( B 1 × B 2 ) = μ 1 ( B 1 ) μ 2 ( B 2 ) {\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\cdot \mu _{2}(B_{2})}

dla dowolnych B i A i , {\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {A}}_{i},} gdzie i = 1 , 2. {\displaystyle i=1,2.} Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech E A 1 A 2 . {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}.} Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru E {\displaystyle E} wzdłuż x X 1 {\displaystyle x\in X_{1}} bądź y X 2 {\displaystyle y\in X_{2}} nazywa się zbiory:

E x = { y X 2 : ( x , y ) E } , {\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}\colon (x,y)\in E\},} E y = { x X 1 : ( x , y ) E } . {\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}\colon (x,y)\in E\}.}

Funkcje:

X 1 x 1 μ 2 ( E x 1 ) , {\displaystyle X_{1}\ni x_{1}\mapsto \mu _{2}(E_{x_{1}}),} X 2 x 2 μ 1 ( E x 2 ) {\displaystyle X_{2}\ni x_{2}\mapsto \mu _{1}(E^{x_{2}})}

mierzalne (względem odpowiednio A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} i A 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}} ) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

( μ 1 × μ 2 ) ( E ) = X 2 μ 1 ( E y ) d μ 2 ( y ) = X 1 μ 2 ( E x ) d μ 1 ( x ) . {\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\;\operatorname {d} \mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\;\operatorname {d} \mu _{1}(x).}

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} nie jest σ {\displaystyle \sigma } -skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych | edytuj kod

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych { μ t : t T } {\displaystyle \{\mu _{t}\colon \,t\in T\}} określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych ( Ω t , A t ) , t T . {\displaystyle (\Omega _{t},{\mathcal {A}}_{t}),\,t\in T.} Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara μ {\displaystyle \mu } określona na σ {\displaystyle \sigma } -ciele produktowym

t T A t {\displaystyle \bigotimes _{t\in T}{\mathcal {A}}_{t}}

o tej własności, że

μ ( t T A t ) = t T μ t ( A t ) , {\displaystyle \mu (\prod _{t\in T}A_{t})=\prod _{t\in T}\mu _{t}(A_{t}),}

dla dowolnej rodziny { A t : A t Ω t , t T } {\displaystyle \{A_{t}\colon A_{t}\subseteq \Omega _{t},\,t\in T\}} o własności, że tylko skończona liczba zbiorów A t {\displaystyle A_{t}} jest różna od Ω t . {\displaystyle \Omega _{t}.} Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora | edytuj kod

Niech μ {\displaystyle \mu } będzie miarą w zbiorze { 0 , 1 } , {\displaystyle \{0,1\},} która zbiorom { 0 } {\displaystyle \{0\}} i { 1 } {\displaystyle \{1\}} przyporządkowuje wartość 1 2 . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.} Jeżeli κ {\displaystyle \kappa } jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora { 0 , 1 } κ {\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }} może być uzyskana jako miara produktowa κ {\displaystyle \kappa } kopii miary μ . {\displaystyle \mu .}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara produktowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy