Miara wektorowa


Miara wektorowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Miara wektorowaaddytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja | edytuj kod

Jeśli F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jest ciałem zbiorów oraz E {\displaystyle E} przestrzenią unormowaną, to funkcję ν : F E , {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E,} spełniającą warunek

ν ( A B ) = ν ( A ) + ν ( B ) {\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}

dla wszelkich rozłącznych zbiorów A , B F , {\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},} nazywamy miarą wektorową[1].

Jeśli M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M , {\displaystyle M,} to funkcję ν : M E {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E} nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu ( A n ) n N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} spełniony jest warunek:

ν ( n = 1 A n ) = n = 1 ν ( A n ) {\displaystyle \nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}

Wahanie i półwahanie | edytuj kod

Jeżeli ν : F E {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E} jest miarą wektorową, to funkcję | ν | : F 0 , {\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} określoną wzorem

| ν | ( A ) = sup { P Π ν ( P ) : Π } , {\displaystyle |\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},} gdzie Π F {\displaystyle \Pi \subset {\mathcal {F}}} jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że Π = A {\displaystyle \bigcup \Pi =A} nazywamy wahaniem miary wektorowej ν . {\displaystyle \nu .}

Funkcję ν : F 0 , , {\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],} określoną wzorem

ν ( A ) = sup { | x ν | ( A ) : x E , x 1 } {\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}

nazywamy półwahaniem miary wektorowej ν . {\displaystyle \nu .}

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności | edytuj kod

  • Jeżeli M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M , {\displaystyle M,} a ν : M R {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} } jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
| ν | = ν = ν + + ν , {\displaystyle |\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},} gdzie ν + , ν , {\displaystyle \nu ^{+},\nu ^{-},} to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
  • Jeżeli ν {\displaystyle \nu } jest miarą wektorową, to ν | ν | . {\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.}
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech M = σ ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})} (σ-ciało generowane przez ciało F ; {\displaystyle {\mathcal {F}};} porównaj: definicję). Jeśli ν : M E {\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E} jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego A F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} zachodzi równość: | ν | F | ( A ) = | ν | ( A ) . {\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).}
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej ν {\displaystyle \nu } jest miarą skończoną, to ν {\displaystyle \nu } jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
  • Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady | edytuj kod

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech T : L 0 , 1 X {\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X} będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru A 0 , 1 {\displaystyle A\subset [0,1]} określmy odwzorowanie

ν ( A ) = T ( χ A ) , {\displaystyle \nu (A)=T(\chi _{A}),} gdzie χ A {\displaystyle \chi _{A}} jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech T : L 1 0 , 1 X {\displaystyle T\colon L_{1}[0,1]\to X} będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja ν {\displaystyle \nu } dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego A 0 , 1 {\displaystyle A\subset [0,1]}

ν ( A ) l ( A ) T , {\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,} gdzie l {\displaystyle l} jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także ν ( A ) l ( A ) T , {\displaystyle \|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,} co dowodzi, że ν {\displaystyle \nu } jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech L | 0 , 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}} będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja ν : L | 0 , 1 L 0 , 1 {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]} dana wzorem

ν ( A ) = χ A , {\displaystyle \nu (A)=\chi _{A},} dla A L | 0 , 1 {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}} jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech F = { A N : | A | < 0 | N A | < 0 } . {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.} Funkcja ν : F R {\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} } dana wzorem

ν ( A ) = { | A | , | A | < 0 | A | , | N A | < 0 {\displaystyle \nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.} jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w[2].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  2. Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1–3.Sprawdź autora:1.
Na podstawie artykułu: "Miara wektorowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy