Miara zupełna


Miara zupełna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara zupełnamiara μ {\displaystyle \mu } określona na przestrzeni mierzalnej ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Innymi słowy, jeśli A A , {\displaystyle A\in {\mathcal {A}},} μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} i E A , {\displaystyle E\subseteq A,} to E A . {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}.}

Twierdzenie o rozszerzeniu miary mówi, że dla każdej miary μ {\displaystyle \mu } określonej na przestrzeni mierzalnej ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} istnieje taka miara zupełna ν {\displaystyle \nu } określona na najmniejszym σ-ciele zawierającym A {\displaystyle {\mathcal {A}}} i wszystkie podzbiory zbiorów miary μ {\displaystyle \mu } -zero, która pokrywa się z μ {\displaystyle \mu } na A . {\displaystyle {\mathcal {A}}.}

Przykłady | edytuj kod

  • Miara Lebesgue’a i miara Dieudonnégo są zupełne.
  • Przykładem miary, która nie jest zupełna jest miara Lebesgue’a obcięta do rodziny zbiorów borelowskich na prostej.
  • Miara produktowa miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli V {\displaystyle V} jest niemierzalnym podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue’a l 1 {\displaystyle l_{1}} ), to zbiór { 1 } × V {\displaystyle \{1\}\times V} zawarty jest w zbiorze { 1 } × R {\displaystyle \{1\}\times \mathbb {R} } dla którego ( l 1 l 1 ) ( { 1 } × R ) = 0 = 0 , {\displaystyle (l_{1}\otimes l_{1})(\{1\}\times \mathbb {R} )=0\cdot \infty =0,} ale sam zbiór { 1 } × V {\displaystyle \{1\}\times V} nie jest ( l 1 l 1 ) {\displaystyle (l_{1}\otimes l_{1})} -mierzalny.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara zupełna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy