Mnożenie przez skalar


Mnożenie przez skalar w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Ilustracja mnożenia wektora przez skalar (w ciele charakterystyki różnej od 2).

Mnożenie przez skalar – jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.

Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie wektora rzeczywistej przestrzeni euklidesowej przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „skalar[1] urobiono od czynności: skalar służy do skalowania, czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. jednokładnościowego przekształcania wektorów o wartość bezwzględną skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w ciałach skończonych, które nie są uporządkowane liniowo (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów).

Definicja | edytuj kod

 Osobne artykuły: przestrzeń liniowaciało.

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem K ; {\displaystyle K;} elementy przestrzeni nazywane będą wektorami (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą skalarami (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie mnożenia wektora z V {\displaystyle V} przez skalar z K {\displaystyle K} definiuje się jako funkcję K × V V , {\displaystyle K\times V\to V,} która przekształca parę skalar-wektor ( c , v ) {\displaystyle (c,\mathbf {v} )} w wektor c v {\displaystyle c\mathbf {v} } zgodnie z poniższymi aksjomatami:

  • lewo- i prawostronna rozdzielność względem dodawania wektorów, ( c + d ) v = c v + d v , {\displaystyle (c+d)\mathbf {v} =c\mathbf {v+} d\mathbf {v} ,} c ( v + w ) = c v + c w ; {\displaystyle c(\mathbf {v+w} )=c\mathbf {v+} c\mathbf {w} ;}
  • łączność, ( c d ) v = c ( d v ) ; {\displaystyle (cd)\mathbf {v} =c(d\mathbf {v} );}
  • zgodność z elementem neutralnym 1 {\displaystyle 1} mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”), 1 v = v . {\displaystyle 1\mathbf {v} =\mathbf {v} .}

Własności, przykłady, uogólnienia | edytuj kod

Z powyższych aksjomatów wynikają m.in. następujące własności:

  • zgodność elementów neutralnych ciała 0 {\displaystyle 0} i przestrzeni liniowej 0 {\displaystyle \mathbf {0} } (zob. wektor zerowy), 0 v = 0 {\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} }
  • zgodność elementów przeciwnych przestrzeni liniowej i ciała („zmiana zwrotu”), ( 1 ) v = v . {\displaystyle (-1)\mathbf {v} =\mathbf {-v} .}

W szczególnym przypadku za V {\displaystyle V} można wziąć samo K {\displaystyle K} i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli V {\displaystyle V} jest przestrzenią współrzędnych K n , {\displaystyle K^{n},} to mnożenie przez skalar jest określone po współrzędnych. Macierze ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. mnożenie macierzy przez skalar. Jeśli K {\displaystyle K} oznacza ciało liczb zespolonych, to mnożenie przez skalar jest złożeniem jednokładności o współczynniku równym modułowi i obrotu wektora o kąt równy argumentowi tego skalara (zob. płaszczyzna zespolona).

W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako zewnętrzne działanie dwuargumentowe lub działanie ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli K {\displaystyle K} jest pierścieniem przemiennym; wówczas konstrukcję V {\displaystyle V} analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się modułem nad K . {\displaystyle K.} Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: K {\displaystyle K} może być półpierścieniem (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli K {\displaystyle K} jest strukturą nieprzemienną, to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.

Struktury algebraiczne, w których zdefiniowano pewien rodzaj mnożenia przez skalar, to m.in. algebry nad ciałem, algebry nad pierścieniem, pierścienie grupowe, czy algebry grupowe (tj. przestrzenie liniowe i moduły wolne z mnożeniem elementów; być może przemiennym). Wiele z powyższych przypadków obejmuje pojęcie grupy z operatorami

Przypisy | edytuj kod

  1. Łac. scalar, od późnołac. scala, „schody, drabina”, od łac. scalae, l.mn. „schody, szczeble, drabina”; spokr. z łac. scandere, „wspinać się” i dalej ze średnioirl. sceinnid, „wyskakuje” oraz sans. skandati, „skacze”.
Na podstawie artykułu: "Mnożenie przez skalar" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy