Monomorfizm


Monomorfizm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów g 1 , g 2 : Z X {\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X} zachodzi

f g 1 = f g 2 g 1 = g 2 . {\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.} [1].

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością | edytuj kod

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli l {\displaystyle l} jest lewostronną odwrotnością f , {\displaystyle f,} tzn. l f = id X , {\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X},} to f {\displaystyle f} jest monomorfizmem, gdyż

f g 1 = f g 2 l f g 1 = l f g 2 g 1 = g 2 . {\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane f : Hom ( Z , X ) Hom ( Z , Y ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Hom} (Z,X)\to \operatorname {Hom} (Z,Y)} zdefiniowane dla wszystkich morfizmów h : Z X {\displaystyle h\colon Z\to X} wzorem f h = f h {\displaystyle f_{*}h=f\circ h} jest różnowartościowe dla wszystkich Z {\displaystyle Z\;} .

Monomorfizm normalny | edytuj kod

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną[2].

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Przypisy | edytuj kod

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250

Bibliografia | edytuj kod

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  3. Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Monomorfizm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy