Naprężenie główne


Naprężenie główne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Naprężenie główne – wektor naprężenia normalnego σ n , {\displaystyle {\vec {\sigma }}_{n},} jakie występuje w takim punkcie przekroju poprzecznego ośrodka materialnego, w którym naprężenie styczne τ {\displaystyle {\vec {\tau }}} ma wartość zerową[1].

Poszukiwanie naprężeń głównych jest szczególnym przypadkiem zagadnienia własnego dla macierzy zawierającej elementy tensora naprężenia. Otrzymane wartości własnenaprężeniami głównymi, a wektory własne określają nową bazę takiego układu współrzędnych, w którym tensor naprężenia będzie miał postać diagonalną (a).

Większość używanych tensorów naprężenia jest symetryczna (z wyjątkiem np. niesymetrycznej teorii sprężystości bądź tensora Pioli-Kirchhoffa I rodzaju) więc naprężenia główne są rzeczywiste.

Naprężenia główne oznaczane są symbolami σ 1 , {\displaystyle \sigma _{1},} σ 2 , {\displaystyle \sigma _{2},} σ 3 . {\displaystyle \sigma _{3}.} Tensor naprężenia w układzie współrzędnych wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:

(a)     σ i j = ( σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ) . {\displaystyle \sigma _{ij}^{'}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{pmatrix}}.}

Umownie przyjmuje się kolejność: σ 1 σ 2 σ 3 . {\displaystyle \sigma _{1}\geqslant \sigma _{2}\geqslant \sigma _{3}.}

Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania[2][3]:

σ 3 + I 1 σ 2 I 2 σ + I 3 = 0 , {\displaystyle -\sigma ^{3}+I_{1}\sigma ^{2}-I_{2}\sigma +I_{3}=0,}

gdzie:

σ {\displaystyle \sigma } – naprężenie normalne, I 1 , {\displaystyle I_{1},} I 2 , {\displaystyle I_{2},} I 3 {\displaystyle I_{3}} – niezmienniki stanów naprężenia, które można obliczyć z następujących wzorów: I 1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ 1 + σ 2 + σ 3 , {\displaystyle I_{1}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3},} I 2 = | σ 22 σ 23 σ 32 σ 33 | + | σ 11 σ 13 σ 31 σ 33 | + | σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 | = {\displaystyle I_{2}={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{vmatrix}}=}

= σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 , {\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1},}

I 3 = | σ i j | = σ 1 σ 2 σ 3 , {\displaystyle I_{3}={\begin{vmatrix}\sigma _{ij}\end{vmatrix}}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3},}

w których σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} są naprężeniami głównymi.

Wartości niezmienników nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych.

Trajektorią naprężenia głównego σ i {\displaystyle \sigma _{i}} nazywamy krzywą o tej własności, że kierunki stycznych do tej linii są równocześnie kierunkami tego naprężenia głównego. Znajomość trajektorii, głównych naprężeń rozciągających w betonie elementów konstrukcyjnych, stanowi podstawę właściwego projektowania rozkładu zbrojenia rozciąganego w tych elementach.

Przypisy | edytuj kod

  1. Gawęcki A., Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej 1985, s. 33.
  2. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN Warszawa 1980, s. 91.
  3. Biezuchow N.I., Teoria sprężystości i plastyczności, PWN Warszawa 1957, s. 109.
Na podstawie artykułu: "Naprężenie główne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy